domenica 25 settembre 2016

218. 1, 2, 3, tanti

George Gamow (Odessa, 1904 – Boulder, 1968), è stato un fisico, cosmologo e divulgatore scientifico russo naturalizzato statunitense. Fu un sostenitore della teoria del Big Bang, e nei suoi lavori predisse l'esistenza della Radiazione cosmica di fondo. Gamow era una persona spiritosa, e quando con Ralph Alpher scrisse il fondamentale articolo sulla cosmogenesi, volle aggiungere il nome di Hans Bethe, così l’articolo fu pubblicato col nome di teoria di Alpher-Bethe-Gamow. Fu anche un brillante divulgatore scientifico; un suo famoso libro “One, Two, Three...Infinity” inizia raccontando che gli Ottentotti (popolazione indigena dell’Africa australe, così chiamata dagli Olandesi) non avevano nel loro vocabolario nomi per indicare i numeri superiori al 3. Quando qualcuno chiedeva ad uno di loro quanti figli avesse, e se il numero era maggiore di 3, l’indigeno rispondeva “tanti”. Più o meno la stessa cosa succede con l’apprendimento scolastico della Geometria. Dopo aver definito il punto e la retta si studiano le figure piane (come quadrati, triangoli e circonferenze), per poi passare ai solidi. Cioè si arriva a contare fino a 3 dimensioni. Per lo studio di oggetti in spazi di dimensione superiore, si parla genericamente di iperspazi (con tante dimensioni).

Si è già parlato in precedenti post di questi argomenti (es.: 154. I (Noti) Solidi Platonici) qui arriveremo a calcolare gli iper-volumi di Tetraedri in qualsiasi dimensione. Partiamo dal punto, che oltre a essere definito negli Elementi di Euclide come ciò che non ha parti, ha anche dimensione zero. Ora prendiamo un secondo punto e congiungiamolo al primo con un segmento di retta; abbiamo ottenuto così un ente geometrico con 1 sola dimensione. Prendiamo poi un terzo punto (esterno alla retta) e colleghiamolo con i 2 precedenti punti; otterremo così un triangolo con 3 lati e 3 vertici (2 dimensioni). Continuando ad aggiungere punti, si costruisce il tetraedro in 3 dimensioni, e poi 4, 5, ecc. Il numero di elementi che compongono i vari enti geometrici, hanno una struttura corrispondente a quella del Triangolo di Tartaglia (o di Pascal):




Nota: una figura chiusa quadridimensionale è composta di vertici, spigoli, facce, e celle. Un vertice è un punto dove si incontrano 4 o più spigoli. Uno spigolo è un segmento dove tre o più facce si incontrano, e una faccia è un poligono dove si incontrano due celle. Una cella è l'analogo tridimensionale di una faccia, ed è pertanto un poliedro.

Passiamo ora al calcolo dei “Volumi”.

I vari punti verranno sempre addizionati, posizionandoli in modo tale che, scegliendo 3 punti (vertici) a caso, si ottengano sempre triangoli equilateri.


In figura è rappresentato un triangolo equilatero e possiamo pensare di essere partiti con il punto in basso a sinistra, abbiamo poi aggiunto quello in basso a destra ed infine il punto in alto. Se congiungiamo il vertice superiore con il centro della base, otteniamo l’altezza “h” relativa alla base. Il punto d’incidenza delle 3 altezze viene chiamato baricentro; mentre la distanza tra centro della base e baricentro viene chiamata apotema. Allo stesso modo possiamo procedere per la costruzione del tetraedro. L’apotema del triangolo vale 1/3 dell’altezza, mentre per il tetraedro il rapporto è 1/4.
Più in generale il Teorema di Commandino stabilisce che:

Il baricentro dell'ipertetraedro appartiene alle mediane e le divide in parti che stanno fra loro nel rapporto 1 : n.


Federico Commandino (Urbino, 1509 – Urbino, 1575) è stato un matematico ed umanista italiano, uno dei maggiori traduttori delle opere dei grandi matematici dell'antichità.


Le varie altezze si possono calcolare con semplici passaggi matematici, reiterando il Teorema di Pitagora; ogni volta si usa lo spigolo come ipotenusa, mentre per cateti si definiscono l’altezza che dobbiamo ricavare e la distanza vertice/baricentro della base. Facciamo 2 esempi:
   1) per calcolare l’altezza di un triangolo equilatero usiamo come ipotenusa il lato e come “cateto noto” il semilato (che corrisponde alla distanza vertice/baricentro del lato);
   2) l’altezza del tetraedro si calcola utilizzando come “cateto noto” <l’altezza del triangolo meno il suo apotema> ed essendo che l’apotema vale 1/3 dell’altezza, il cateto risulta 2/3 di quest’ultima.


Moltiplicandole di volta in volta per i “volumi” calcolati nei passaggi precedenti e dividendo per (n+1), si ottengono i volumi delle corrispondenti dimensioni successive:




Questa formula permette di calcolare il Volume di un Ipertetraedro di spigolo s in n dimensioni.
In tabella sono riportate altezze, volumi e apotemi, con spigolo s di valore unitario:

Per altezze e apotemi sono riportati anche i valori dei loro quadrati, per metterne in evidenza la loro formulazione particolarmente semplice.


   2. Formula di Eulero per i Poliedri
  5. Sezioni di Cubo
 19. Ipertetraedro
 21. Dodecaedro e Cubo
 45. Solidi Platonici
 94. Sezioni di ipercubo
115. Somma di ipersfere
131. Tesseratto












mercoledì 14 settembre 2016

217. Lo pneumatico


Tutto cominciò con un triciclo. Lo scozzese John Boyd Dunlop (1840 – 1921) dopo essersi laureato in veterinaria, tra le altre cose, fu anche inventore e chirurgo. Nel 1867 si trasferì in Irlanda, dove, vent’anni dopo, guardando pedalare il proprio figlio su una strada sassosa, ebbe l’idea di inventare lo pneumatico. 

 



L’anno successivo depositò il brevetto e nel 1889 fondò la società produttrice degli pneumatici Dunlop: Pneumatic Tyre and Booths Cycle Agency. Una squadra di ciclisti inglesi che montava gomme Dunlop, contribuì a rendere l’invenzione famosa nel mondo e le gomme piene furono sostituite nelle biciclette e nelle automobili.




Due anni dopo la concessione, Dunlop fu informato ufficialmente che gli era stato revocato il brevetto in seguito a verifiche più approfondite. Era infatti emerso che già quarant'anni prima l'inventore Robert William Thomson (1822 – 1873) di Stonehaven (anche lui scozzese), aveva già brevettato un'idea analoga in Francia nel 1846 e negli Stati Uniti nel 1847. Forse Thomson era troppo in anticipo e morì a 51 anni senza riuscire a vedere i futuri sviluppi che avrebbe avuto la sua invenzione. O forse perché non era ancora stata inventata la vulcanizzazione, che serve a dare elasticità e durezza a caucciù e gomme sintetiche, rendendole insensibili alle variazioni di temperatura. Questo processo consiste sostanzialmente nel far reagire a caldo gomma e zolfo con altri catalizzatori, e fu scoperta nel 1855 dall’americano Charles Goodyear (anche lui rimasto famoso nel settore, l'azienda Goodyear Tire and Rubber Company è stata chiamata così in suo omaggio). I legami chimici tra le catene di molecole “a ponte di zolfo”, creano un reticolo stabile, che impedisce alla gomma di rammollire e di deformarsi se la temperatura sale. A seconda della quantità di zolfo impiegato, si ottengono gomme più o meno dure.

Ma come funziona lo pneumatico e come riesce a rimanere gonfio sotto il peso di un ciclista o quello di un automobile?

La prima risposta è semplice: è pieno di aria compressa (o altro gas).

Quello che è meno immediato è che atomi e molecole urtando tra loro e contro le pareti ad alta velocità riescono a “reggere” il peso di ciò che portano in giro. Questi proiettili sono molto piccoli, ma sono veramente tanti, ma tanti tanti. Non è semplice immaginare numeri simili e non approfondirò oltre l’argomento; riporto solo l’inizio del capitolo 39 “The Kinetic Theory of Gases” delle famose lezioni “The Feynman Lectures on Physics, Volume I”:






“Innanzitutto, sappiamo che un gas esercita una pressione. Se le nostre orecchie fossero più sensibili, sentiremmo un rumore continuo. Per fortuna l'evoluzione dell'orecchio non si è sviluppata a quel punto. La ragione è che il timpano è a contatto con l'aria, e l'aria è costituita da un sacco di molecole in movimento continuo e queste sbattono contro i timpani, causando un irregolare boom, boom, boom, che non si sente solo perché gli atomi sono così piccoli, e la sensibilità dell'orecchio insufficiente per accorgersene. Il risultato di questo bombardamento perpetuo è di spingere il tamburo lontano, ma naturalmente c'è un bombardamento perpetuo uguale di atomi sull'altro lato del timpano, in modo tale che la forza netta risultante sia zero. Se dovessimo rimuovere l'aria da uno dei due lati, o modificare le quantità relative di aria, il timpano sarebbe poi spinto da una parte o dall'altra, perché la quantità di bombardamenti su un lato sarebbe superiore a quella sull’altro. A volte si prova questo effetto di disagio quando si va troppo in fretta in un ascensore o durante la fase di atterraggio di un aereo, soprattutto se abbiamo anche un brutto raffreddore (quando abbiamo un raffreddore, l’infiammazione chiude il canale che collega l'aria all'interno del timpano con l’aria esterna che attraversa la gola, in modo che le due pressioni non possono facilmente bilanciarsi)”. 


 

Le molecole che compongono l’aria che respiriamo hanno una velocità media dell’ordine di 2000 km all’ora, anche se non riusciamo a percepirlo.

Tornando al nostro pneumatico, se la ruota non è montata, senza schiacciarla non riusciamo a capire se è gonfia o no. Se però vogliamo utilizzarla dobbiamo gonfiarla, cioè dobbiamo aumentare la pressione al suo interno.

L’unica formula che voglio mostrare è l’equazione di stato dei gas perfetti:

pV = nRT


dove le variabili sono nell’ordine: pressione, volume, quantità di sostanza, costante dei gas e temperatura assoluta.

Nel caso dello pneumatico V,R e T di norma non cambiano, mentre p aumenta in funzione di n, cioè se si aumenta la quantità di gas, aumenta in proporzione la pressione. Facciamo qualche esempio. Per le gomme di una bicicletta una buona regola generale è gonfiare di 1 atmosfera per ogni 10 kg di peso (es: se pesi 70 kg le gonfi a 7 atm); che non è poco, se si pensa che la pressione delle ruote delle auto è compresa tra 2 e 2,5 atmosfere. Vediamo perché e poniamoci prima un paio di domande: che pressione esercita un copertone sull’asfalto e qual è l’area della sua impronta? Le risposte non sono poi così difficili.

Primo, per essere in equilibrio, la pressione esercitata dall’asfalto sullo pneumatico deve equilibrare la pressione interna, per cui 7 atm per la bici e 2,2 per l’auto.

Secondo, la pressione si ottiene come forza per unità di superficie, p = F/S, e ipotizzando una massa di 70 kg (bici + uomo) e 1400 kg (auto + uomo), si ottiene che con le pressioni scritte sopra le relative superfici sono:

 



In questo sito potete trovare come varia l’impronta dello pneumatico in relazione alla pressione.



      

In fisica psi è l'acronimo di pound per square inch, che significa libbre per pollice quadrato, ed è l'unità di misura della pressione nel sistema anglosassone.

1 atm  = 14,69 psi  = 760 torr  = 760 mmHg   = 10,33 mH2O  = 101325 Pa  = 1,013 bar   = 103,32 kgf/m²    = 1,0332 kgf/cm²   = 0,101325 N/mm²


Essendo inversamente proporzionali, aumentando la pressione si diminuisce l’area dell’impronta lasciata sull’asfalto e viceversa. Per questo motivo si sgonfiano leggermente le gomme per aumentarne l’aderenza in caso di nevicate e si dovrebbe  aumentare la pressione d'estate di 0,2 - 0,3 bar quando si è a pieno carico.



Esistono semplici esempi di pressioni molto elevate, come un chiodo sull’asfalto che fora un copertone o la pressione esercitata dal tacco a spillo di una scarpa (di una donna di 50 kg), che arriva a superare le 100 atmosfere.

 










 

lunedì 22 agosto 2016

216. Hilbert’s Hotel


Prima o poi, in un blog che si rispetti, si deve parlare di questo paradosso. E visto che ci sono molti blog degni di rispetto, basta scrivere su un motore di ricerca alcune parole chiave, per trovare un’infinità di post che parlano di questi argomenti. Quel che faremo qui è di esporre i diversi approcci utilizzati per risolvere brillantemente le varie situazioni che si presentano di volta in volta.



http://www.delcampe.net/







Immaginate un hotel (che chiameremo hotel di Hilbert) con infinite stanze tutte occupate.
 

Caso 1 - Arriva un nuovo cliente. L’arguto albergatore pensa: non c’è problema; metto il nuovo ospite nella stanza che desidera e sposto nella stanza successiva alla loro tutti gli occupanti delle varie stanze. In questo semplice esempio, se il nuovo ospite sceglie la stanza numero 1, basterà spostare l'ospite della 1 nella 2, quello della 2 nella 3, ecc.; essendo un hotel infinito è possibile trovare una soluzione.

Caso 2 - Dopo un’ora arriva un autobus con infiniti nuovi ospiti. L’arguto albergatore pensa: basta spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, ecc.), lasciando ai nuovi arrivi tutte le camere con i numeri dispari, che sono anche esse infinite. Problema risolto.


Ma non è finita qui.


Caso 3 - Il giorno dopo arrivano infiniti autobus (tutti numerati) ed ognuno di questi contiene infiniti passeggeri (che siedono su sedili anch’essi numerati).
A questo punto la faccenda sembra farsi complicata, ma anche in questo caso esiste una soluzione, anzi esistono almeno 5 modi diversi di risolvere la questione:

Modo 1

Che i numeri primi siano infiniti, fu dimostrato da Euclide in una delle più belle dimostrazioni matematiche, e non è complicato rendersi conto che qualsiasi potenza di un primo è divisibile solo per il numero primo stesso. Per cui se poniamo i clienti attualmente residenti nelle camere con numero uguale alle potenze di 2 e i vari autobus in quelle corrispondenti alle potenze dei successivi primi. Cioè, indicando con k il numero della stanza o del sedile occupato, basta seguire questa semplice regola:

  • ospiti residenti andranno nella camera 2k  es. da camera 7 a camera 128
  • primo autobus andranno nella camera 3k  es. da posto 4 a camera 81
  • secondo autobus andranno nella camera 5k  es. da posto 3 a camera 125
  • terzo autobus andranno nella camera 7k  es. da posto 5 a camera 16807
Questo modo ha il difetto di lasciare libere troppe camere. Ad esempio: 6, 10 e tutte le camere scomponibili in numeri primi differenti, non saranno occupate.

Modo 2

Nel libro “La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart” viene suggerito di iterare il procedimento utilizzato in precedenza per sistemare un solo autobus, per ogni autobus che si deve sistemare. L’inconveniente in questo caso è che ogni ospite dovrà continuare a spostarsi.

Modo 3

Posto k, autobus j, va in 2j (2k -1)

  • residenti, vanno nella camera 20 (2k -1)        es. da camera 7 a camera 13
  • primo bus, vanno nella camera 21 (2k -1)      es. da posto 4 a camera 14
  • secondo bus, vanno nella camera 22 (2k -1)  es. da posto 3 a camera 20
  • terzo bus, vanno nella camera 24 (2k -1)       es. da posto 5 a camera 144

Modo 4

Immaginiamo l’hotel di Hilbert come un classico hotel (ma infinito). Le infinite camere k sono posizionate lungo gli infiniti corridoi j e in infiniti livelli (o piani) p (immaginate un cubo infinito). Possiamo anche complicare ulteriormente la questione, cioè pensare che arrivino infinite persone, su infiniti autobus e per infiniti giorni. Basterà dire loro di recarsi nel corridoio corrispondente al numero del loro autobus, al livello relativo al giorno e applicare il caso 2 visto in precedenza.

Esempio: il primo giorno, il quarto passeggero del terzo autobus, andrà a sistemarsi nella camera numero 7, del terzo corridoio (III), al livello 1 (corridoio giallo).







Modo 5
Per diagonali, utilizzato nella pagina di Wikipedia: “Paradosso del Grand Hotel di Hilbert”. Il metodo si capisce subito osservando l’illustrazione riportata nel post messicano: http://masciencia.org/blog/bienvenidos-al-hotel-hilbert

 

  

Il celebre paradosso del Grand Hotel è stato inventato dal grande matematico David Hilbert negli anni ’20 e, come commentato in Wikipedia: “Questo paradosso, nonostante sia piuttosto elementare, ha contribuito, all'epoca ai matematici, ed oggi ai profani, a far comprendere la differenza profonda e sostanziale tra gli insiemi finiti e infiniti…”.

 

Come detto all’inizio, esistono molti post che parlano di questo paradosso e sono presenti in rete anche molti interessanti video come questo di Jeff Dekofsky:








giovedì 18 agosto 2016

215. Trigonometria poligonale


Le funzioni trigonometriche come seno e coseno, possono essere tracciate proiettando la posizione di un punto, che si muove con moto uniforme su una circonferenza di raggio 1. Se si proietta sull’asse X si ottiene la funzione coseno, mentre proiettando sull’asse Y, si ha come risultato il seno.

Ma cosa succede se, invece di una circonferenza, viene utilizzato un poligono regolare?

Nell’animazione proposta da Lucas Vieira Barbosa, oltre la funzione seno, vengono mostrati altri 2 esempi di funzioni che si ottengono utilizzando quadrato ed esagono; i poligoni sono circoscritti al cerchio di raggio 1.




Nel caso di un cerchio unitario, velocità del punto e velocità angolare coincidono. Negli altri 2 esempi mostrati si è scelto di mantenere uniforme la velocità angolare, cioè di utilizzare come argomento della funzione l’angolo rispetto all’asse delle ascisse, invece della distanza percorsa lungo il perimetro del poligono. Per questo motivo il quadrato, nelle 2 rampe, non traccia segmenti di linea retta, ma segmenti della funzione tangente.

Non avendo la stessa simmetria del cerchio rispetto alla rotazione, le funzioni dipenderanno dall'orientamento dei poligoni.

Nella successiva figura viene mostrata la sovrapposizione delle prime 2 funzioni:


 

Ogni semionda della sinusoide ha come periodo pi greco, che, come noto, espresso in radianti vale 3,1415… Malgrado l’irrazionalità di tale numero, l’area della semionda vale esattamente 2. Il calcolo è semplice e veloce, anche se il risultato non è del tutto intuitivo.

 


 



https://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

mercoledì 10 agosto 2016

214. Suite: Judy Blue Eyes - The islanders puzzle

I buoni matematici riescono a vedere le analogie.
I grandi matematici riescono a vedere le analogie tra le analogie.
Stefan Banach

C’è un isola con 1000 abitanti, 100 dei quali hanno gli occhi azzurri, mentre i restanti 900 hanno gli occhi marroni. Sull’isola non ci sono specchi ed è assolutamente vietato parlare del colore degli occhi. Inoltre se una persona scopre il colore dei propri occhi, deve abbandonare l’isola immediatamente.
Un giorno, un esploratore arriva sull’isola ed è invitato a tenere un discorso a tutta la popolazione e, essendo all’oscuro delle usanze locali, egli commette un passo falso: “dopo questi lunghi mesi di viaggio in mare, è veramente un piacere rivedere persone con gli occhi blu”. Cosa succede dopo?

Preciso che gli abitanti dell’isola, pur avendo usanze strane, sono persone molto logiche e non disobbediscono mai.

Soluzione

Per risolvere il problema, cominciamo con la variante di un’isola con 1 sola persona con gli occhi blu (che chiameremo A).
Quindi A viene a sapere dalle parole dell’esploratore che è presente almeno una persona con gli occhi blu. Siccome non vede nessuno con queste caratteristiche, A conclude che deve essere lui. Subito dopo abbandona l’isola.
Supponiamo ora che le persone siano 2 (A e B), entrambe con gli occhi blu.
A vede che B ha gli occhi blu e viceversa. Visto che l’altro non se ne va il primo giorno, capiscono che anche loro hanno lo stesso colore. Quindi A e B lasciano l’isola il secondo giorno. Nota: se solo 1 avesse gli occhi blu, il caso sarebbe banale.

Procedendo con questo ragionamento, se gli isolani con occhi blu sono N, per induzione, se ne andranno tutti l’N-esimo giorno.
Nel nostro specifico caso, i 100 abitanti se ne andranno il 100-esimo giorno.

Subito dopo i restanti 900 abitanti con gli occhi marroni realizzano cosa è successo e abbandonano l’isola anche loro.

Tutto chiaro?

Ammesso che sia riuscito a convincervi, il dubbio che resta è che l’esploratore non sembra introdurre nuove informazioni. Eppure lo fa, come viene spiegato dal concetto di  differenti ordini di conoscenza. O meglio, con il concetto di Conoscenza comune.
In logica, la conoscenza comune è un particolare tipo di conoscenza all'interno di un gruppo di giocatori. Esiste conoscenza comune di p in un gruppo di giocatori G, quando tutti i giocatori all'interno di G conoscono p, sanno che tutti conoscono p, sanno che tutti sanno che tutti conoscono p e così via all'infinito.







In modo analogo, Pier Paolo Pasolini nel film-documentario “Comizi d'amore” diretto nel 1965, “aggiunge” all’amore tra Tonino e Graziella, la coscienza del loro amore.

SCENE DA UN MATRIMONIO

“Tonino e Graziella si sposano. Del loro amore sanno solo che è amore. Dei loro futuri figli sanno soltanto che saranno figli. È soprattutto quando è lieta e innocente che la vita non ha pietà. Due ragazzi italiani si sposano e in questo loro giorno tutto il male e tutto il bene precedenti ad essi sembrano annullarsi, come il ricordo della tempesta nella pace.

Ogni diritto è crudele ed essi, esercitando il proprio diritto a essere ciò che furono le loro madri e i loro padri, non fanno altro che confermare, cari come sono alla vita, la lietezza e l'innocenza della vita. Così la conoscenza del male e del bene e la storia, che non è né lieta né innocente, si trova sempre di fronte a questa spietata smemoratezza di chi vive alla sua sovrana umiltà. Tonino e Graziella si sposano e chi sa tace di fronte alla loro grazia che non vuole sapere. E invece il silenzio è colpevole e allora l'augurio sia: al vostro amore si aggiunga la coscienza del vostro amore.”