domenica 12 novembre 2017

237. Kaprekar


Nel 1949 il matematico indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar mise a punto un processo oggi noto come operazione di Kaprekar, che venne pubblicato su Scripta Mathematica (n. 15, 1949).  
Si sceglie un numero di 4 cifre dove le cifre non siano tutte uguali (come 1111, 2222, ecc.) e neanche che 3 siano uguali tra loro e la quarta differisca di un’unità; quindi si ridispongono le cifre per ottenere il numero più grande e quello più piccolo che si possono comporre con queste 4 cifre. Infine, si sottrarre il numero più piccolo dal più grande per ottenere un nuovo numero e si continua ripetendo l'operazione per ogni nuovo numero.
Ad esempio, se si parte da 2017 si ottiene:


7210  -  0127  =  7083

8730  -  0378  =  8352

8532  -  2358  =  6174

7641  -  1467  =  6174


e per ogni numero di 4 cifre si arriva a 6174; tutti i numeri raggiungono 6174 in un massimo di 7 passaggi. La maggior parte dei numeri converge con 3 passaggi:







Deutsch e Goldman (nel 2004) hanno fornito questa interessante rappresentazione grafica:




Una situazione simile si ottiene con 3 cifre, ma in questo caso la chiave a cui si arriva è 495. In funzione del numero di cifre, si possono avere 1, nessuna o più chiavi:



Ma cosa si ottiene cambiando la base del sistema numerico?

Una bella trattazione la potete trovare qui.
Nella seguente tabella vengono riportati alcuni esempi con numeri fino a 5 cifre:



 







 

domenica 5 novembre 2017

236. Lenti sottili


Da Wikipedia, l'enciclopedia libera: “La rifrazione è la deviazione subita da un'onda che ha luogo quando questa passa da un mezzo a un altro nel quale la sua velocità di propagazione cambia. La rifrazione della luce è l'esempio più comunemente osservato, ma ogni tipo di onda può essere rifratta, per esempio quando le onde sonore passano da un mezzo a un altro o quando le onde dell'acqua si spostano a zone con diversa profondità.



Ma perché il raggio non percorre il cammino più corto, cioè la linea retta?

La risposta è semplice: perché così fa prima.

Questo è uno degli aspetti del principio di Fermat. Nel 1650 Pierre Fermat scoprì questo importante principio: Un raggio di luce propagandosi da un punto all’altro segue un percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo confrontato con quello dei percorsi vicini è minimo o massimo o stazionario.



Esistono molti principi variazionali utilizzati per risolvere i problemi scientifici con gli strumenti del calcolo delle variazioni. Ad esempio, il principio di Maupertuis generalizza il principio di Fermat, ma in generale in fisica si possono ricavare dal principio di minima azione, che, a sua volta, ha come formulazione maggiormente significativa il principio variazionale di Hamilton. Provate a cercarli su Wikipedia e vedrete come da poche semplici ipotesi si possano ricavare le leggi della fisica (come richiesto dal principio metodologico noto come Rasoio di Occam).

Tra i tanti, mi piace ricordare questo: Principio di minima curvatura di Hertz - una particella non soggetta a forze esterne si muove lungo la traiettoria di curvatura minima; in altre parole deve essere una geodetica.

Nel caso di una lente ottica, il raggio di luce che l’attraversa subisce una doppia rifrazione, che permette ai raggi che partono da una sorgente puntiforme di focalizzarsi in un secondo punto dalla parte opposta della lente.



Questo è alla base dell’ottica geometrica. Spesso si ha a che fare con sistemi formati da più di una superficie rifrangente: attraverso una lente da occhiali, la luce passa dall’aria al vetro e dal vetro all’aria; in strumenti come il microscopio, il telescopio o la macchina fotografica, esistono quasi sempre più di 2 superfici, che consentono di correggere le aberrazioni cromatiche.

Ma veniamo ora ad un aspetto mai sottolineato abbastanza, cioè che nel caso rappresentato nella figura riportata sopra esistono infiniti percorsi che la luce percorre per andare dalla sorgente al secondo punto.

La luce che percorre la linea retta che passa per i 2 punti, nel percorso all’interno della lente si muove più lentamente, mentre quella che transita vicino al bordo percorre un cammino maggiore. Ebbene, si può verificare che il tempo di percorrenza è lo stesso per tutti i percorsi.

Qui di seguito la dimostrazione che si può trovare nel capitolo 16 del libro:

James Nearing, Mathematical Tools for Physics, Dover ed.


 

  









 

domenica 8 ottobre 2017

235. Piramidi e calendari


La piramide di Kukulkan è un monumento piramidale, a base quadrata, che domina il centro di Chichen Itza, sito archeologico messicano nello Stato dello Yucatán, costruito dalla civiltà Maya tra il IX e il XII secolo. In questo post vedremo come esista una correlazione tra questa e i calendari fiscali utilizzati nelle aziende.


  

Per definizione un angolo giro vale 360 gradi. Questo probabilmente perché, per semplificare i calcoli, si è scelto un numero che ha molti divisori. Infatti è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, ecc.

Dei primi 10 numeri manca solo il 7. Ad esempio, con questa scelta, gli angoli alla circonferenza (e quindi anche gli angoli interni) dei primi poligoni regolari (eccettuato l’ettagono) sono tutti numeri interi.


Un angolo giro si può dividere in 4 quadranti per formare 4 angoli di 90 gradi, anche loro facilmente divisibili in angoli di 30, 45 e 60 gradi, utilizzati nelle comuni figure geometriche. 360 è anche vicino a 365, il numero di giorni in un anno non bisestile.

Prima di continuare vediamo come viene usualmente suddiviso un anno solare. La suddivisione in settimane, non credo che abbia un qualche significato ancestrale, ma è probabilmente dovuta al fatto che la Luna torna nella stessa fase dopo circa 4 settimane; per l’esattezza un mese sinodico, altrimenti detto lunazione o mese lunare, è il tempo che impiega la Luna per riallineare nuovamente la sua posizione con il Sole e la Terra dopo aver compiuto una rivoluzione intorno a quest'ultima: si può anche definire come il tempo che intercorre tra un novilunio e quello successivo. La durata media del mese sinodico è di 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi (circa 29,53 giorni). Vi sono quattro posizioni fondamentali: Luna nuova, primo quarto, Luna piena e ultimo quarto.



Ognuna di queste fasi dura poco più di 1 settimana.
Un anno è divisibile in 52 settimane (o in 4 trimestri di 13 settimane l’uno) + 1 giorno; ovvero: 91, 91, 91 e 92 giorni.


Come detto all’inizio del post, la piramide di Kukulkan è a base quadrata e ciascuno dei quattro lati della piramide ha 91 gradini che, sommati insieme, compresa la piattaforma del tempio in alto come fase finale, produce un totale di 365  (4 x 91 + 1).

Nota: il minimo comune multiplo di 2 numeri consecutivi è sempre il loro prodotto, cioè 2 numeri consecutivi sono sempre primi tra loro.

90 ha come fattori primi 2, 3 e 5, mentre il numero successivo 91 (che non può avere gli stessi numeri) ha come fattori primi 7 e 13.

 




 

mercoledì 20 settembre 2017

234. GPS


La teoria della Relatività Generale di Albert Einstein nasce come teoria unificante la Relatività Ristretta e la Teoria della Gravitazione Universale di Isaac Newton: le due teorie sono infatti incompatibili. Nella Relatività Generale, lo spazio-tempo di Minkowski è solo un modello che approssima localmente lo spazio-tempo, che è in realtà "distorto" dalla massa. E quando si parla di spazio-tempo, si intende che questi 2 concetti sono ormai intrinsecamente legati. Non esistono più spazio e tempo assoluti, con tutto quello che ne consegue.

La teoria della Relatività Generale implica che il tempo rallenti in presenza di un campo gravitazionale. Mentre la teoria della Relatività Speciale prevede che le misure di intervalli temporali e di lunghezze spaziali effettuate da osservatori inerziali non corrispondano necessariamente fra loro, dando luogo a fenomeni come la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Gli effetti della Relatività Generale sono più rilevanti vicino alla superficie terrestre rispetto a quelli su un satellite orbitante intorno alla Terra. Anche la velocità del satellite deve essere maggiore dove l'altezza dell’orbita è più bassa, in modo che la forza centrifuga possa annullare l'attrazione gravitazionale più forte, per cui anche la Relatività Speciale fornirà un maggior contributo. Quando l'altezza aumenta, entrambi gli effetti diminuiscono in modo non lineare secondo il fattore di Lorentz (Relatività Speciale) e seguendo la soluzione di Schwarzschild delle equazioni del campo di Einstein (Relatività Generale). Ma i due effetti sono opposti, quindi c'è un'altezza (circa 3.200 km sopra il livello del mare) dove questi si annullano; un orologio posizionato sul satellite è visto funzionare correttamente in questo punto quando osservato dalla superficie terrestre. Un sistema satellitare GPS (Global Positioning System) è un esempio e una prova pratica di entrambe le teorie di Einstein. I ricevitori GPS sono posizionati ad un’altezza di 20.000 km circa e compiono 2 orbite al giorno. Vengono costruiti per ricevere sulla Terra un segnale a 10,23 MHz, ma i satelliti GPS devono trasmettere sulla frequenza 10.22999999543 MHz per annullare gli effetti relativistici. L'effetto (una differenza di tempo di circa 38 μs/giorno) è apparentemente insignificante, ma deve essere preso in considerazione o ci sarebbe un errore nel posizionamento di 11,5 km/giorno.
Nel grafico, gli errori sono contrassegnati alle altezze approssimative della Stazione Spaziale Internazionale (ISS), dei satelliti GPS (GPS) e dei satelliti geostazionari (GEO).

 


Jakub Serych "Relativistic Effects on Satellite Clock as Seen from Earth"
Wolfram Demonstrations Project, Published: May 10, 2013 http://demonstrations.wolfram.com/RelativisticEffectsOnSatelliteClockAsSeenFromEarth/

Ciò che sorprende, è che in 100 anni si ha un rallentamento relativo di 1,4 secondi, ma, per ottenere un’accuratezza nella navigazione di 15 metri, la corrispondente accuratezza del tempo del GPS deve essere di 50 nanosecondi, che equivale al tempo richiesto alla luce per percorrere 15 metri. In altre parole, senza tener conto della Relatività, il GPS non riuscirebbe a rimanere entro le specifiche dichiarate in appena 2 minuti.

 





https://physics.stackexchange.com/questions/96478/time-dilation-in-orbits-in-the-schwarzschild-metric

giovedì 24 agosto 2017

233. Eclissi e ISS


Un'eclissi totale di Sole ha attraversato una stretta porzione degli Stati Uniti lunedì 21 agosto: da Lincoln Beach in Oregon a Charleston nella Carolina del Sud.


L’eclissi solare parziale è stata comunque visibile in tutto il continente nordamericano.




Ci sono occasioni che possono capitare una sola volta nella vita, e il fotografo della NASA Joel Kowsky ne ha avuta una, riuscendo a catturare, vicino a Banner nel Wyoming, una spettacolare immagine (composta da 7 fotogrammi) che mostra la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) mentre transita davanti al Sole a 7,66 km/s (circa 27.600 km/h) durante l'eclissi parziale.


A bordo, come parte di “Expedition 52”, è presente un equipaggio di 6 persone: gli astronauti della NASA Peggy Whitson, Jack Fischer e Randy Bresnik; i russi Fyodor Yurchikhin e Sergey Ryazanskiy della RKA e l'astronauta Paolo Nespoli dell'ESA (Agenzia Spaziale Europea).

Il diametro angolare del Sole è di 32’ (0,53 gradi), mentre ISS ha un periodo orbitale di 92,7 minuti e se vi dovesse capitare di osservarla, vi potreste rendere conto di cosa significhi viaggiare a più di 22 volte la velocità del suono (o circa 30 volte quella di un aereo di linea).



Con un semplice calcolo si ottiene che la velocità angolare di ISS è circa 0.0647 gradi/sec (3,9’/sec) e quindi occorrono 8,24 secondi per spostarsi da una parte all’altra del Sole.
Un'orbita geostazionaria (in inglese: Geostationary Earth Orbit o GEO) è un'orbita circolare ed equatoriale, situata ad un’altezza tale che il periodo di rivoluzione di un satellite che la percorre coincide con il periodo di rotazione della Terra. È un caso particolare di orbita geosincrona. Si dice orbita geosincrona una qualsiasi orbita sincrona attorno alla Terra, potenzialmente utilizzabile da satelliti artificiali. I satelliti in orbita geosincrona sono caratterizzati da un periodo orbitale pari al giorno siderale terrestre. È importante osservare che questi satelliti non mantengono sempre necessariamente la medesima posizione nel cielo della Terra.

Dovendo pensare ad un film di fantascienza, il primo che mi viene in mente è “2001: Odissea nello spazio”. Il film di Stanley Kubrick del 1968, basato su un soggetto di Arthur C. Clarke, il quale ha poi tratto dalla sceneggiatura un romanzo dal titolo omonimo. Non credo che sia il caso di spendere molte parole che sarebbero probabilmente fuori luogo; preferisco riportare quanto detto dallo stesso regista: “Ognuno è libero di speculare a suo gusto sul significato filosofico del film, io ho tentato di rappresentare un'esperienza visiva, che aggiri la comprensione per penetrare con il suo contenuto emotivo direttamente nell'inconscio.”





La previsione più famosa di Sir Arthur C. Clarke sul futuro è la sua proposta di utilizzare satelliti geostazionari per le telecomunicazioni, pubblicata nella rivista Wireless World nel 1945. Non considerata seriamente all’inizio, è poi diventata realtà 20 anni dopo con il lancio del 6 aprile 1965 di Intelsat-Early Bird, il primo satellite geostazionario commerciale di comunicazione.

Un satellite posizionato in un'orbita circolare equatoriale ad una distanza di circa 42.164 km dal centro della Terra (35.787 km sopra il livello del mare) con un periodo pari alla rotazione della Terra sul suo asse (Giorno Siderale = 23h 56m), rimane geostazionario sullo stesso punto sull'equatore della Terra. Nel 2002 la Clarke Orbit aveva oltre 300 satelliti. Il primo riferimento ai satelliti geostazionari è contenuto nell’articolo di Clarke (inviato all'editore nel 1945) intitolato “Peacetime Uses for V2” pubblicato nel numero di Wireless World.

Arthur C. Clarke nella sua autobiografia scientifica “Ascent to Orbit”, pubblicata nel 1984, afferma di aver dimenticato questa lettera fino a quando glielo è stato ricordato dal personale ingegneristico della Sri Lanka Broadcasting Corporation nel 1968.
In tabella vengono riportate le velocità di satelliti in orbita ad una distanza R dal centro della Terra.
 

 
Raggio (km)
m/s
km/h
ISS
6,785
7,661
27,579
Satelliti Geostazionari
42,168
3,073
11,063
Luna
384,000
1,018
3,666

 

L’idea di Clarke era di utilizzare i satelliti artificiali nello spazio in modo che servissero da ripetitori.