martedì 2 gennaio 2018

238. Atan


Il termine pendenza è usato per indicare il grado di ripidità (o di inclinazione) di una strada, ed è indicata dalla segnaletica verticale con cartelli di pericolo che ne indicano la pendenza con una percentuale. Un valore maggiore della pendenza corrisponde a una maggiore ripidità del tratto di strada.
Un tratto orizzontale ha una pendenza che vale 0% (tangente = 0), un tratto di strada in salita che forma un angolo di 45° con l'orizzontale ha una pendenza del 100% (tangente = 1); cioè ad ogni spostamento orizzontale di 100 metri, ne corrisponde uno verticale di pari valore.

                     


La pendenza della strada è definita come la tangente dell'angolo θ di inclinazione:
m = tan θ

Se si vuole risalire al valore dell'angolo θ a partire dal valore della pendenza m, basta applicare la formula di conversione:    θ = arctan m

In trigonometria, l’arcotangente (che viene indicata con arctan o atan) è definita come inversa della funzione tangente.



In un triangolo rettangolo l'ampiezza di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il cateto opposto e il cateto adiacente.

Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, non è difficile dimostrare la relazione:

Grazie alle proprietà della funzione arcotangente, è possibile derivare formule e algoritmi molto efficienti per il calcolo delle cifre di pi greco, che sono conosciute come formule di tipo Machin.

William Shanks, nel 1873, calcolò il valore di pi greco con 707 cifre decimali, facendo uso della formula di John Machin del 1706:

Questo risultato fu in seguito controllato da D.F.Ferguson e J.W.Wrench jr. avvalendosi rispettivamente della formula di Machin e della seguente formula di Sidney Luxton Loney:


Calcolarono entrambi 808 cifre decimali ottenendo lo stesso risultato. Si è avuta così la conferma che le ultime cifre del valore ricavato da Shanks (a partire dalla 528a) erano errate.

E ora una bella formula ricavata dal grande matematico Eulero nel 1738:


Formula di Eulero

Da quest’ultima (utilizzando la prima formula di questo post) si può ricavare:


Una bella dimostrazione grafica di questa elegante formula consiste nel mostrare che la somma degli angoli rosso, verde e blu è proprio pi greco (N.B. nella seconda immagine, il triangolo blu-verde è isoscele e quindi simile al triangolo piccolo rosso-nero della prima immagine).




 


 














https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities










domenica 12 novembre 2017

237. Kaprekar


Nel 1949 il matematico indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar mise a punto un processo oggi noto come operazione di Kaprekar, che venne pubblicato su Scripta Mathematica (n. 15, 1949).  
Si sceglie un numero di 4 cifre dove le cifre non siano tutte uguali (come 1111, 2222, ecc.) e neanche che 3 siano uguali tra loro e la quarta differisca di un’unità; quindi si ridispongono le cifre per ottenere il numero più grande e quello più piccolo che si possono comporre con queste 4 cifre. Infine, si sottrarre il numero più piccolo dal più grande per ottenere un nuovo numero e si continua ripetendo l'operazione per ogni nuovo numero.
Ad esempio, se si parte da 2017 si ottiene:


7210  -  0127  =  7083

8730  -  0378  =  8352

8532  -  2358  =  6174

7641  -  1467  =  6174


e per ogni numero di 4 cifre si arriva a 6174; tutti i numeri raggiungono 6174 in un massimo di 7 passaggi. La maggior parte dei numeri converge con 3 passaggi:







Deutsch e Goldman (nel 2004) hanno fornito questa interessante rappresentazione grafica:




Una situazione simile si ottiene con 3 cifre, ma in questo caso la chiave a cui si arriva è 495. In funzione del numero di cifre, si possono avere 1, nessuna o più chiavi:



Ma cosa si ottiene cambiando la base del sistema numerico?

Una bella trattazione la potete trovare qui.
Nella seguente tabella vengono riportati alcuni esempi con numeri fino a 5 cifre:



 







 

domenica 5 novembre 2017

236. Lenti sottili


Da Wikipedia, l'enciclopedia libera: “La rifrazione è la deviazione subita da un'onda che ha luogo quando questa passa da un mezzo a un altro nel quale la sua velocità di propagazione cambia. La rifrazione della luce è l'esempio più comunemente osservato, ma ogni tipo di onda può essere rifratta, per esempio quando le onde sonore passano da un mezzo a un altro o quando le onde dell'acqua si spostano a zone con diversa profondità.



Ma perché il raggio non percorre il cammino più corto, cioè la linea retta?

La risposta è semplice: perché così fa prima.

Questo è uno degli aspetti del principio di Fermat. Nel 1650 Pierre Fermat scoprì questo importante principio: Un raggio di luce propagandosi da un punto all’altro segue un percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo confrontato con quello dei percorsi vicini è minimo o massimo o stazionario.



Esistono molti principi variazionali utilizzati per risolvere i problemi scientifici con gli strumenti del calcolo delle variazioni. Ad esempio, il principio di Maupertuis generalizza il principio di Fermat, ma in generale in fisica si possono ricavare dal principio di minima azione, che, a sua volta, ha come formulazione maggiormente significativa il principio variazionale di Hamilton. Provate a cercarli su Wikipedia e vedrete come da poche semplici ipotesi si possano ricavare le leggi della fisica (come richiesto dal principio metodologico noto come Rasoio di Occam).

Tra i tanti, mi piace ricordare questo: Principio di minima curvatura di Hertz - una particella non soggetta a forze esterne si muove lungo la traiettoria di curvatura minima; in altre parole deve essere una geodetica.

Nel caso di una lente ottica, il raggio di luce che l’attraversa subisce una doppia rifrazione, che permette ai raggi che partono da una sorgente puntiforme di focalizzarsi in un secondo punto dalla parte opposta della lente.



Questo è alla base dell’ottica geometrica. Spesso si ha a che fare con sistemi formati da più di una superficie rifrangente: attraverso una lente da occhiali, la luce passa dall’aria al vetro e dal vetro all’aria; in strumenti come il microscopio, il telescopio o la macchina fotografica, esistono quasi sempre più di 2 superfici, che consentono di correggere le aberrazioni cromatiche.

Ma veniamo ora ad un aspetto mai sottolineato abbastanza, cioè che nel caso rappresentato nella figura riportata sopra esistono infiniti percorsi che la luce percorre per andare dalla sorgente al secondo punto.

La luce che percorre la linea retta che passa per i 2 punti, nel percorso all’interno della lente si muove più lentamente, mentre quella che transita vicino al bordo percorre un cammino maggiore. Ebbene, si può verificare che il tempo di percorrenza è lo stesso per tutti i percorsi.

Qui di seguito la dimostrazione che si può trovare nel capitolo 16 del libro:

James Nearing, Mathematical Tools for Physics, Dover ed.


 

  









 

domenica 8 ottobre 2017

235. Piramidi e calendari


La piramide di Kukulkan è un monumento piramidale, a base quadrata, che domina il centro di Chichen Itza, sito archeologico messicano nello Stato dello Yucatán, costruito dalla civiltà Maya tra il IX e il XII secolo. In questo post vedremo come esista una correlazione tra questa e i calendari fiscali utilizzati nelle aziende.


  

Per definizione un angolo giro vale 360 gradi. Questo probabilmente perché, per semplificare i calcoli, si è scelto un numero che ha molti divisori. Infatti è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, ecc.

Dei primi 10 numeri manca solo il 7. Ad esempio, con questa scelta, gli angoli alla circonferenza (e quindi anche gli angoli interni) dei primi poligoni regolari (eccettuato l’ettagono) sono tutti numeri interi.


Un angolo giro si può dividere in 4 quadranti per formare 4 angoli di 90 gradi, anche loro facilmente divisibili in angoli di 30, 45 e 60 gradi, utilizzati nelle comuni figure geometriche. 360 è anche vicino a 365, il numero di giorni in un anno non bisestile.

Prima di continuare vediamo come viene usualmente suddiviso un anno solare. La suddivisione in settimane, non credo che abbia un qualche significato ancestrale, ma è probabilmente dovuta al fatto che la Luna torna nella stessa fase dopo circa 4 settimane; per l’esattezza un mese sinodico, altrimenti detto lunazione o mese lunare, è il tempo che impiega la Luna per riallineare nuovamente la sua posizione con il Sole e la Terra dopo aver compiuto una rivoluzione intorno a quest'ultima: si può anche definire come il tempo che intercorre tra un novilunio e quello successivo. La durata media del mese sinodico è di 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi (circa 29,53 giorni). Vi sono quattro posizioni fondamentali: Luna nuova, primo quarto, Luna piena e ultimo quarto.



Ognuna di queste fasi dura poco più di 1 settimana.
Un anno è divisibile in 52 settimane (o in 4 trimestri di 13 settimane l’uno) + 1 giorno; ovvero: 91, 91, 91 e 92 giorni.


Come detto all’inizio del post, la piramide di Kukulkan è a base quadrata e ciascuno dei quattro lati della piramide ha 91 gradini che, sommati insieme, compresa la piattaforma del tempio in alto come fase finale, produce un totale di 365  (4 x 91 + 1).

Nota: il minimo comune multiplo di 2 numeri consecutivi è sempre il loro prodotto, cioè 2 numeri consecutivi sono sempre primi tra loro.

90 ha come fattori primi 2, 3 e 5, mentre il numero successivo 91 (che non può avere gli stessi numeri) ha come fattori primi 7 e 13.

 




 

mercoledì 20 settembre 2017

234. GPS


La teoria della Relatività Generale di Albert Einstein nasce come teoria unificante la Relatività Ristretta e la Teoria della Gravitazione Universale di Isaac Newton: le due teorie sono infatti incompatibili. Nella Relatività Generale, lo spazio-tempo di Minkowski è solo un modello che approssima localmente lo spazio-tempo, che è in realtà "distorto" dalla massa. E quando si parla di spazio-tempo, si intende che questi 2 concetti sono ormai intrinsecamente legati. Non esistono più spazio e tempo assoluti, con tutto quello che ne consegue.

La teoria della Relatività Generale implica che il tempo rallenti in presenza di un campo gravitazionale. Mentre la teoria della Relatività Speciale prevede che le misure di intervalli temporali e di lunghezze spaziali effettuate da osservatori inerziali non corrispondano necessariamente fra loro, dando luogo a fenomeni come la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Gli effetti della Relatività Generale sono più rilevanti vicino alla superficie terrestre rispetto a quelli su un satellite orbitante intorno alla Terra. Anche la velocità del satellite deve essere maggiore dove l'altezza dell’orbita è più bassa, in modo che la forza centrifuga possa annullare l'attrazione gravitazionale più forte, per cui anche la Relatività Speciale fornirà un maggior contributo. Quando l'altezza aumenta, entrambi gli effetti diminuiscono in modo non lineare secondo il fattore di Lorentz (Relatività Speciale) e seguendo la soluzione di Schwarzschild delle equazioni del campo di Einstein (Relatività Generale). Ma i due effetti sono opposti, quindi c'è un'altezza (circa 3.200 km sopra il livello del mare) dove questi si annullano; un orologio posizionato sul satellite è visto funzionare correttamente in questo punto quando osservato dalla superficie terrestre. Un sistema satellitare GPS (Global Positioning System) è un esempio e una prova pratica di entrambe le teorie di Einstein. I ricevitori GPS sono posizionati ad un’altezza di 20.000 km circa e compiono 2 orbite al giorno. Vengono costruiti per ricevere sulla Terra un segnale a 10,23 MHz, ma i satelliti GPS devono trasmettere sulla frequenza 10.22999999543 MHz per annullare gli effetti relativistici. L'effetto (una differenza di tempo di circa 38 μs/giorno) è apparentemente insignificante, ma deve essere preso in considerazione o ci sarebbe un errore nel posizionamento di 11,5 km/giorno.
Nel grafico, gli errori sono contrassegnati alle altezze approssimative della Stazione Spaziale Internazionale (ISS), dei satelliti GPS (GPS) e dei satelliti geostazionari (GEO).

 


Jakub Serych "Relativistic Effects on Satellite Clock as Seen from Earth"
Wolfram Demonstrations Project, Published: May 10, 2013 http://demonstrations.wolfram.com/RelativisticEffectsOnSatelliteClockAsSeenFromEarth/

Ciò che sorprende, è che in 100 anni si ha un rallentamento relativo di 1,4 secondi, ma, per ottenere un’accuratezza nella navigazione di 15 metri, la corrispondente accuratezza del tempo del GPS deve essere di 50 nanosecondi, che equivale al tempo richiesto alla luce per percorrere 15 metri. In altre parole, senza tener conto della Relatività, il GPS non riuscirebbe a rimanere entro le specifiche dichiarate in appena 2 minuti.

 





https://physics.stackexchange.com/questions/96478/time-dilation-in-orbits-in-the-schwarzschild-metric