domenica 7 maggio 2017

230. Vite parallele: Escher - Penrose


Le Vite parallele di Plutarco sono una serie di biografie di uomini celebri scritte sulla fine del I secolo d.C. e riunite in coppie per mostrare vizi o virtù morali comuni ad entrambi e consistono di ventidue coppie di biografie, di norma narranti le vite di un uomo greco e di uno romano. Il “parallelo” con il titolo di questo post finisce qui; infatti le vite a cui si fa riferimento, sono di 2 persone nate e scomparse a pochi giorni di distanza l’uno dall’altro. Il comune interesse per le “Strutture Paradossali”, li accomunò verso la fine degli anni ’50, anche se con motivazioni differenti: psicologiche, grafiche o matematiche.

Lionel Sharples Penrose è stato uno psichiatra e genetista britannico.
     11 giugno 1898, Londra            -   12 maggio 1972, Londra, Regno Unito

Maurits Cornelis Escher è stato un incisore e grafico olandese.
     17 giugno 1898, Leeuwarden   -   27 marzo 1972, Laren, Paesi Bassi






I contatti di Escher con la comunità scientifica, in particolare quelli che seguirono il suo intervento allo Stedelijk Museum di Amsterdam nel settembre 1954 durante il Congresso Internazionale dei Matematici, giocarono un ruolo importante nella sua progressione verso la rappresentazione di mondi impossibili.

Oltre all'incontro con il matematico canadese H.S.M. Coxeter, questa mostra portò ad un fruttuoso scambio di idee con Roger Penrose, che frequentava la conferenza come studente e fu molto impressionato da quanto esposto da Escher. Opere come Relativity (1953) esercitarono un'influenza determinante sullo sviluppo di figure che possono essere disegnati ma non possono esistere in 3 dimensioni.






Roger Penrose inviò a Escher "Oggetti impossibili: uno speciale tipo di Visual Illusion", un articolo da lui pubblicato con il padre, L.S. Penrose, nel British Journal of Psychology, nel febbraio 1958, che rendeva omaggio ai lavori di Escher.

Escher fu colpito da 2 illustrazioni che accompagnavano la discussione di oggetti impossibili: una rampa di scale che portano verso il basso e verso l'alto, allo stesso tempo e un triangolo impossibile. Ispirato dalle illustrazioni dei Penrose, Escher realizzò 2 famose litografie, Salire e Scendere (1960) e Cascata (1961).






Salire e scendere, Marzo 1960, litografia 285 x 355

L’illusione dei monaci che salgono e scendono in continuazione lungo una scala, forma un percorso chiuso basato su una costruzione paradossale che Escher trovò in un articolo di L.S. Penrose.


Salire e scendere





Cascata, Novembre 1961, litografia 300 x 380

L’acqua della cascata della cascata che mette in moto la ruota del mulino scorre lungo un canale tra 2 torri sino a quando raggiunge un punto in cui cade di nuovo. L’illusione è basata sul triangolo proposto da Roger Penrose, figlio dell’inventore della “scala continua” (Salire e scendere).

Cascata



































Qui di seguito, la lettera inviata da M.C. Escher a L.S. Penrose nel 1961. La litografia a cui fa riferimento Escher è proprio Cascata.


 










lunedì 1 maggio 2017

229. Penrose


Negli anni ’60, mentre era al lavoro su argomenti cosmologici con l’amico Stephen Hawking, Roger Penrose fece importanti scoperte riguardanti i Buchi Neri e la Teoria della Relatività. In seguito ottenne altri importanti risultati nel settore della Teoria dei Giochi (o forse è meglio dire della Geometria), come la tassellazione di Penrose, che permette di ricoprire un piano con 2 tipi di figure in modo aperiodico e che furono inventate (o scoperte) ignorando che potessero avere un’applicazione pratica; ad esempio, che le forme tridimensionali di queste tassellature potevano essere alla base di un nuovo strano tipo di materia. Lo studio di questi “quasi-cristalli” è diventato un’area di ricerca nella moderna cristallografia.
 

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3APenrose_tiling
http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html
http://mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
https://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm
https://www.goldennumber.net/penrose-tiling/



In generale esistono solo 3 poligoni regolari che consentono di ricoprire il piano infinito: triangolo equilatero, quadrato ed esagono.




Se invece utilizziamo il pentagono, ci rendiamo conto che resta sempre un’area che non riusciamo a ricoprire. Ma anche se è vero che con i pentagoni non si riesce ad ottenere la copertura del piano, scomponendo il pentagono in figure di 3 o 4 lati, si possono ricavare figure che, prese a coppie, riescono a ricoprire il piano infinito. Se poi si aggiunge la richiesta di soddisfare ad alcune semplici regole, si ottengono disposizioni decisamente inaspettate.
Si è creduto per molto tempo che nessuna figura con simmetria quintupla potesse avere un ordine ripetitivo. Tuttavia, nel 1974, Roger Penrose scoprì 2 schemi di intarsio (per la loro forma chiamati “Kite and Dart” o “Dardo ed Aquilone”) capaci di ricoprire il piano con simmetria quintupla. Si tratta però di schemi non periodici, anche se dotati di una certa regolarità. Gli angoli di questi oggetti geometrici sono tutti multipli di 36 gradi, come nel pentagono regolare e nei triangoli ricavati da quest’ultimo.


  

Pentagono e tasselli di Penrose hanno il rapporto aureophi” presente un po’ ovunque nelle loro componenti; non a caso  phi = 2 * cos 72 = 1.6180339....
Potrete anche notare che nelle varie figure i lati hanno valori differenti, e questo per le proprietà di phi. Ne riporto alcune che ho preso da Wikipedia:



Una delle proprietà più affascinanti di queste tassellature, è che, col crescere dell’area presa in considerazione, il rapporto tra il numero dei Dardi e quello degli Aquiloni tende al solito phi.
Nel 1977 Martin Gardner scrisse un famoso articolo intitolato: Una straordinaria tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature, per la rubrica “GIOCHI MATEMATICI” de “Le Scienze” da lui gestita per molti anni. Qui di seguito ne viene riportato un estratto.




GIOCHI MATEMATICI

di Martin Gardner

Una straordinaria tassellatura non periodica che arricchisce la teoria delle tassellature

Una tassellatura periodica è una tassellatura in cui si può delimitare una regione che ricopre il piano per traslazione, cioè per spostamento della regione senza rotazione né riflessione. Si pensi di coprire il piano con un foglio di carta trasparente su cui siano segnati i contorni di ogni regione. Solo se la tassellatura è periodica si può spostare il foglio, senza ruotarlo, in una nuova posizione in cui tutti i contorni corrispondono ancora esattamente. Un'infinità di forme, per esempio l'esagono regolare, tassellano il piano solo in modo periodico. Un'infinità di altre forme lo tassellano sia periodicamente che non periodicamente. La figura in basso mostra come una forma detta “sfinge” costituisca una tassellatura non periodica dando luogo a sfingi sempre più ampie.

Anche qui due sfingi (una delle quali ruotata di 180 gradi) costituiscono ovviamente una tassellatura periodica. Ci sono insiemi di tessere di due o più forme differenti che diano luogo solo a tassellature non periodiche? Per «solo» intendiamo che né una singola forma, né un sottoinsieme né l'intero insieme danno luogo a tassellature periodiche ma che, usando tutte le tessere, è possibile ottenere una tassellatura non periodica. Sono permesse rotazioni e riflessioni delle tessere. Per molti decenni gli esperti credettero che un tale insieme non esistesse, ma la supposizione si rivelò inesatta. Nel 1961 Hao Wang cominciò a interessarsi alla tassellatura del piano con insiemi di quadrati unitari i cui spigoli venivano colorati in vari modi, noti come domino di Wang. Nel 1964 Robert Berger, nella sua tesi di dottorato in matematica applicata all'Università di Harvard, dimostrò che non c'è nessuna procedura generale. Esiste quindi un insieme di domino di Wang che tassella solo non periodicamente. Berger costruì un insieme siffatto servendosi di più di 20 000 domino. Più tardi ne trovò uno molto più piccolo di 104 domino. L'anno scorso Raphael M. Robinson ridusse l'insieme a 24 domino. E’ facile trasformare tale insieme di domino di Wang in tessere poligonali che diano luogo solo a tassellature non periodiche. Basta aggiungere delle sporgenze e delle rientranze sugli spigoli in modo da ottenere dei pezzi come quelli dei rompicapo jigsaw che combaciano nella maniera precedentemente imposta dai colori.

Uno spigolo, originariamente di un colore, combacia solo con un altro che originariamente era dello stesso colore; relazioni analoghe si ottengono per gli altri colori. Ammettendo la rotazione e la riflessione di tali tessere, Robinson costruì sei tessere (si veda lo figura in alto) che «inducono la non periodicità» nel senso precedentemente spiegato. All'Università di Oxford, dove è Rouse Bali Professor di matematica, Penrose si diede a ricercare insiemi ancora più piccoli. Sebbene si occupi soprattutto di teoria della relatività e di meccanica Quantistica, continua ad avere per i giochi matematici quel vivo interesse che condivideva con il padre, il genetista l.S. Penrose. (A loro si deve la scoperta della famosa «scala di Penrose» che gira e gira senza salire; Escher la raffigurò nella sua litografia Ascending and Descending.) Nel 1973 Penrose trovò un insieme di sei tessere che riuscì a ridurre a quattro e, nel 1974, a due. Dato che le tessere si prestano a essere utilizzate per rompicapo commerciali, Penrose non volle renderle note finché non chiese il brevetto in Gran Bretagna, negli Stati Uniti e in Giappone. Ora che questi brevetti stanno per arrivare ho avuto il permesso di parlare di queste tessere. A John Horton Conway devo molti risultati derivanti dai suoi studi sulle tessere di Penrose. La forma di una coppia di tessere di Penrose può variare, ma le due forme più interessanti sono quelle che Conway chiama «punte» e «aquiloni».










Nella figura in alto si può vedere come possano essere derivate da un rombo con angoli di 72 e 108 gradi. Si divida la diagonale maggiore secondo il noto rapporto aureo di  1.6180339 ... poi si unisca il punto con gli angoli ottusi. Questo è tutto. Sia phi il rapporto aureo. Ogni segmento di retta è 1 o phi come indicato in figura. Il rombo dà luogo ovviamente a una tassellatura periodica, ma non è consentito unire i pezzi in questa maniera. Si possono proibire per mezzo di sporgenze e tacche certi modi di unire i lati di uguale lunghezza, ma ci sono mezzi più semplici per farlo. Per aiutare a rispettare questa regola si possono mettere negli angoli punti di due colori ma un metodo migliore, proposto da Conway, è disegnare archi circolari di due colori su ogni tessera come si vede rappresentato nel pavimento in figura.


Ogni arco taglia sia i lati sia l'asse di simmetria in modo che le parti staccate siano tra loro in rapporto aureo. La nostra regola sarà che i lati posti vicini devono congiungere archi dello stesso colore. Per apprezzare pienamente la bellezza e il mistero della tassellatura di Penrose, si dovrebbero costruire almeno 100 aquiloni e 60 punte. I pezzi devono essere colorati solo da una parte. Le aree delle due figure stanno tra loro in rapporto aureo e lo stesso vale per il numero dei pezzi di ciascun tipo di cui avete bisogno. Si potrebbe credere di aver bisogno di un numero maggiore di punte, dato che sono più piccole, ma è proprio il contrario. C'è bisogno di 1,6180339... aquiloni per ogni punta. Se usate tessere colorate, tuttavia, sarete colpiti dalla bellezza dei disegni che vengono creati da queste curve. Penrose e Conway hanno dimostrato, uno indipendentemente dall'altro, che, quando una curva è chiusa, ha una simmetria pentagonale e l'intera regione all'interno della curva ha simmetria quintupla. Una struttura può avere al massimo due curve non chiuse. Nella maggior parte delle strutture tutte le curve sono chiuse. Sebbene sia possibile costruire strutture di Penrose con un alto grado di simmetria (un'infinità di strutture ha simmetria bilaterale) la maggior parte delle strutture sono un ingannevole miscuglio di ordine e inaspettate deviazioni dall'ordine. Quando le strutture si espandono sembra che stiano sempre lottando per ripetere se stesse ma che non ci riescano mai del tutto. C'è qualcosa di ancor più sorprendente sugli universi di Penrose. In un curioso senso finito, espresso dal “teorema di isomorfismo locale”, tutte le strutture di Penrose sono simili. Penrose riuscì a dimostrare che ogni regione finita in una struttura è contenuta in qualche posto all'interno di ogni altra struttura. Per di più essa compare un numero infinito di volte in ogni struttura. Per comprendere quanto sia folle questa situazione, si immagini di vivere su un piano infinito ricoperto da una delle più che numerabili tassellature di Penrose. Si può esaminare la struttura pezzo per pezzo, in tutte le aree di espansione, ma non si può mai determinare su quale tassellatura si è, indipendentemente da quanta parte della struttura si è esplorata. Non serve viaggiare in lungo e in largo ed esaminare regioni non connesse, perché tutte le regioni esaminate appartengono a un 'ampia regione finita che è duplicata esattamente un numero infinito di volte su tutte le strutture. Ovviamente questo è banalmente vero per una tassellatura periodica, ma gli universi di Penrose non sono periodici: essi differiscono uno dall'altro in un numero infinito di modi, eppure è solo al limite, che non è ottenibile, che si possono distinguere uno dall'altro. Come ha detto Conway, i due insiemi di tessere sono costituiti dalla medesima sostanza aurea.
Esistono coppie di tessere non basate sul rapporto aureo che inducano una tassellatura non periodica? Esiste un singolo pezzo che dia luogo solo a tassellature non periodiche? Questi sono due tra i più interessanti e difficili problemi aperti nella teoria della tassellatura.



martedì 4 aprile 2017

228. Quasi


“Fare ricerca significa essere ignoranti per gran parte del tempo e fare spesso errori.”

Yves Meyer

 


Questo simpatico signore è Yves Meyer, professore emerito all’Ėcole Normale Supérieure Paris-Saclay. In passato è stato insignito del premio Salem (1970) e del premio Gauss (2010); quest’anno l’Accademia norvegese di Scienze e Lettere ha deciso di attribuirgli il Premio Abel per il 2017. Se volete saperne di più, potete leggere qui:  http://www.abelprize.no/binfil/download.php?tid=69563

L’interesse di Meyer per quelle che potrebbero essere chiamate le strutture e le regolarità di oggetti matematici complessi lo indusse negli anni Sessanta a elaborare una teoria sui “set di modelli”, ovvero un modo per descrivere sequenze di oggetti che non hanno la regolarità perfetta e la simmetria del reticolo cristallino. Questo lavoro, che prese le mosse dalla teoria dei numeri, fornì la base teorica per i materiali chiamati quasi-cristalli, individuati per la prima volta nel 1982 nelle leghe metalliche, ma prefigurati già nel 1974 dalle tassellature semiregolari identificate dal fisico-matematico Roger Penrose. La scoperta dei quasi cristalli valse nel 2011 a Dan Schechtman, professore di scienze dei materiali, il premio Nobel per la chimica. Meyer continuò a coltivare il suo interesse per i quasi-cristalli, e nel 2010, insieme a Basarab Matei, contribuì a spiegare la loro struttura matematica.


 

Ho-Mg-Zn     Quasi-cristallo


Potrei proseguire parlando di questi argomenti, ma preferisco concentrarmi sui numeri di Pisot-Vijayaraghavan che possono essere usati per generare quasi-interi e studiare i quasi-cristalli: avendo la proprietà che la potenza n-esima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito.

In particolare il numero aureo  Φ (phi) possiede questa proprietà e non è difficile dimostrarlo  partendo dalla definizione del numero aureo stesso, ottenuto come prima soluzione dell’equazione: X2 - X - 1 = 0   ,   X1 = 1,6180339887..  
La seconda soluzione è invece  X2 = - 0,6180339887.., da cui, per la proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado, si ottiene X1 X2 = - 1   e  X1 + X2 = 1    con semplici passaggi algebrici si vede che il generico prodotto  (X1)n (X2)n = (-1)n  mentre la generica somma  (X1)n + (X2)n   non è altro che la Sequenza di Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, …) che ha una stretta relazione con la Serie di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Dal fatto che il secondo termine tende a zero, si ha che il numero aureo è un quasi-intero al crescere di n. Nel seguente grafico viene riportata la differenza tra la potenza n-esima del numero aureo e l’intero più vicino:






E non è finita qui. Se mettete i valori assoluti di questi valori in un grafico con ordinate in scala logaritmica:




Per chiarimenti potete consultare il sito di Mauro Fiorentini:









 
La radice quadrata di 5 appare, quasi ovviamente, nei pentagoni e come visto nel numero aureo, ma la cosa matemagica è che le 2 sequenze, che sono messe in relazione dalla radice quadrata di 5 (quindi irrazionale) possano essere entrambe quasi intere e entrambe in stile Fibonacci.



Questo è il primo post della “Trilogia dei Penrose”, nel prossimo si parlerà di dardi ed aquiloni e poi probabilmente di vite parallele.

 








domenica 5 marzo 2017

227. Trappist - 1


Chi legge questo blog avrà sicuramente sentito parlare della notizia che veniva data nell’apertura dei telegiornali lo scorso mese: la stella Trappist - 1, distante da noi 39 anni luce in direzione della costellazione dell'Acquario, è circondata da ben 7 pianeti di dimensioni paragonabili a quelle terrestri, alcuni dei quali potrebbero essere simili al nostro anche per composizione e per la presenza di un'atmosfera e di un oceano di acqua liquida. Questo suggerisce che nella nostra galassia questo tipo di sistema potrebbe essere molto comune. Dalla Terra, Trappist – 1, ci appare come una debolissima stellina di magnitudine apparente 18,8. Si tratta di una Nana Rossa ultrafredda, con temperatura superficiale di 2.550 K e con una massa pari a circa 1/10 di quella solare. Nel diagramma di Hertzsprung-Russell si trova posizionata in basso a destra.



Nella sola Via Lattea (la nostra galassia), le stelle come questa sono il 15% del totale. Questo sistema stellare risulta però molto più compatto del sistema solare. Il pianeta più interno orbita a 0,01 UA (1,5 milioni di km, che equivale ad 1/100 della distanza Terra-Sole) ed il più lontano ad appena 0,06 UA (9 milioni di km) dalla sua stella; per definizione la Terra orbita ad 1 Unità Astronomica, mentre Mercurio orbita a 0,4 UA ed è il pianeta più interno del sistema solare.  Ad orbite così strette corrispondono periodi di rivoluzione assai brevi, che variano tra 1,5 giorni a qualche settimana. TRAPPIST (Transiting Planets and Planetesimals Small Telescope - La Silla, Cile) è il nome di un piccolo telescopio ad altissima precisione studiato per rilevare i transiti di piccoli pianeti.
Al contrario di quanto riferito in alcuni telegiornali nazionali, Trappist - 1 non si trova in un’altra galassia, ma decisamente più “vicino” a noi.

Come confronto fornirò 3 esempi.
La stella più vicina è Proxima Centauri, distante 268.324 UA o circa 9.000 volte più lontana di Nettuno. Misurando la distanza in anni luce (dove 1 a.l. = 9.46×1012 km o 63,241 UA) si ha che Proxima Centauri dista 4,24 anni luce.
Il Centro Galattico dista 25.750 anni luce.
La galassia più vicina, Andromeda, dista 2.430.000 anni luce.
Capite quindi che un oggetto che si trova a 39,5 anni luce è decisamente “vicino”.


http://www.osservatoriogalilei.com/home/index.php/rirorse/le-note-di-uranio/736-le-distanze-in-tempo-luce-nel-sistema-solare






Pianeti extrasolari

Il primo pianeta extrasolare, 51 Pegasi b, è stato scoperto con il metodo della velocità radiale.
Invece il primo pianeta extrasolare scoperto con la tecnica del transito è stato HD 209458 b, un pianeta tipo Giove che orbita la stella HD 209458 nella costellazione di Pegaso ed è distante 150 anni luce dalla Terra.

Il metodo del transito consiste nella rilevazione della diminuzione di luminosità della curva di luce di una stella quando un pianeta transita di fronte alla stella madre. La diminuzione è correlata alla dimensione relativa della stella madre, del pianeta e della sua orbita. Ad esempio nel caso di HD 209458, la diminuzione di luce è dell'ordine dell’1,7%. Si tratta di un metodo fotometrico che funziona solo per la piccola percentuale di pianeti la cui orbita è perfettamente allineata con il nostro punto di vista, però può essere utilizzato fino a grandi distanze.