venerdì 30 dicembre 2011

91. Cari posteri

Helen Dukas, segretaria di Einstein dal 1928 fino alla morte nel 1955, e in seguito direttrice degli archivi Einstein raccolse molte lettere dello scienziato che nel 1979 vennero pubblicate nel libro:  Albert Einstein,The Human Side.
Il brano che segue e’ un frammento rappresentativo della personalità di Einstein.


Il 1° maggio 1936 un prestigioso editore americano scrisse a Einstein, chiedendogli un favore. Aveva appena iniziato la costruzione di una biblioteca per la sua casa di campagna e voleva collocare nella pietra angolare una scatola a tenuta d'aria contenente degli oggetti che avrebbero avuto una particolare importanza archeologica per i posteri. Ci sarebbe stato per esempio un numero del «New York Times» stampato su una carta di stracci particolarmente resistente. Pregava Einstein di scrivergli un messaggio, accludendo a tale scopo un foglio di carta fatto di stracci che, egli era sicuro, sarebbe durato mille anni.
Il 4 maggio 1936 Einstein inviò il messaggio seguente, probabilmente battuto a macchina sulla carta speciale particolarmente resistente:

Cari posteri,

   se non siete diventati più giusti, più pacifici e in genere più razionali di quanto siamo (o eravamo) noi – allora andate al diavolo!
    Con questo mio pio augurio, sono (fui) vostro

                                                                      Albert Einstein


Albert Einstein, Il lato umano, Einaudi, 1980

mercoledì 28 dicembre 2011

90. Ottantanove bis

L’ennesimo numero di Fibonacci  Fn  è calcolato in modo ricorsivo come somma dei precedenti due (es. 34 + 55 = 89), ma esiste un modo sconcertante per ricavarlo direttamente tramite la forma chiusa seguente (formula di Binet):


dove la seconda uguaglianza si ottiene ricordando la definizione del numero aureo f  vista nel precedente post  e la notevole relazione:  
 1/f = f - 1 .

La formula può essere verificata in modo induttivo, ma rimane comunque sorprendente che la combinazione di potenze di numeri irrazionali possa dare un numero intero per qualsiasi valore di n.

89  e’ l’undicesimo numero di Fibonacci (trascurando la zero).
Applicando la formula precedente ponendo n = 11 si ottiene:



Probabilmente questa relazione non ha scopi pratici, ma da un punto di vista teorico può essere utilizzata per dimostrare come il rapporto tra 2 numeri di Fibonacci consecutivi tenda al numero aureo f al crescere di n.

Wikipedia fornisce ottimi approfondimenti riguardanti Sezione Aurea e Successione di Fibonacci.



Mario Livio, La Sezione Aurea, Bur, 2003
 
Abstract - Fibonacci, the Golden Ratio and the number 89

mercoledì 21 dicembre 2011

89. Ottantanove

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …  questa successione numerica, detta sequenza di Fibonacci, ha la proprietà matematica che ogni elemento (a partire dal terzo) è uguale alla somma dei due precedenti.
Un'altra proprietà matematica interessante riguarda il rapporto di ogni elemento con quello precedente. Risulta infatti che:  1/1=1;  2/1=2;  3/2=1,5; 5/3=1,667; 8/5=1,6 e continuando 1,625; ~ 1,615; ~ 1,619; ~ 1,618  ecc.  La serie in questione converge ad un numero irrazionale detto f (phi), i cui primi termini sono 1,618034  (più precisamente, f  è 1/2 della radice quadrata di 5 più 1/2).  Questo significa che ogni numero è circa 1,618034 volte più grande del numero che lo precede.
Questo numero  f  e’ noto come  numero aureo.
 


I numeri di Fibonacci compaiono per esempio anche sulla testa di un girasole, dove il numero delle spirali formate dai pistilli del fiore rientra molto spesso in questo schema:  
89 spirali si irradiano in senso orario;  55 si muovono in senso antiorario e  34 si muovono in senso orario ma meno velocemente. Questi sono tre numeri adiacenti della sequenza di Fibonacci.




Ottantanove in particolare ha anche altre peculiari proprietà.

- Se si sommano i quadrati delle cifre che compongono un numero e si continua allo stesso modo con il numero ottenuto, a parte rare eccezioni, dopo pochi passaggi si arriva a 89 
Ad esempio partendo da 26, al primo passaggio si ottiene 40, poi 16, 37, 58 e infine 89.

26 Þ  22 + 62 = 40 Þ  42 + 02 = 16 Þ  12 + 62 = 37 Þ  32 + 72 = 58 Þ  52 + 82 = 89


- La serie ottenuta dalla successione di Fibonacci dividendo l’ennesimo termine per 10n  converge al reciproco di 89:

  
  0,0
  0,01
  0,001
  0,0002
  0,00003
  0,000005
  0,0000008
  0,00000013
  0,000000021
  0,0000000034
  0,00000000055
  0,000000000089
  0,0000000000144
        ...
        ...
  ----------------
  0,01123595505...  =  1/89



-  89 e’ la somma delle sue cifre sommata al loro prodotto:   8 + 9 + ( 8 * 9 ) = 89


-  89 e’ un numero primo.





A.S. Posamentier, I. Lehmann, I (favolosi) numeri di Fibonacci, Franco MUZZIO, 2011

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Abstract -  Fibonacci, the Golden Ratio and the number 89
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mercoledì 14 dicembre 2011

88. 10 libri (di scienza)

Il titolo dell’edizione di questo mese del Carnevale dei Libri di Scienza  è:
“10 libri da regalare per Natale”.  Viene ospitato da Gravità Zero e ad esser precisi il tema esatto e’:  il libro o i libri di scienza che vi hanno cambiato la vita e che regalereste al vostro migliore amico...”.

Premesso che la risposta dipende in modo rilevante dagli interessi del vostro miglior amico, restringere la scelta ad una sola decina non e’ semplice, ma se questa e’ la richiesta, dovrò escludere molti autori che avrei volentieri inserito in questa lista.
In seguito prenderò in considerazione 10 libri che trattano di astronomia, fisica e matematica, che forse non mi hanno cambiato la vita, ma che spero possano far riflettere chi li leggerà come hanno fatto riflettere me.

Per chi volesse vedere una più ampia bibliografia, può consultare i siti:



1)   il primo libro che regalerei e’:

Albert Einstein (curato da Enrico Bellone), Opere scelte, Bollati Boringhieri, 1988

 In 793 pagine Bellone ha raccolto, accanto ai lavori più classici di Einstein sulla relatività, scritti di fisica statistica e di meccanica quantistica, compreso il lavoro, condotto in collaborazione con Podolski e Rosen, che dà luogo all’antinomia "E.P.R." che sta alla base della discussa interpretazione della meccanica quantistica.
La raccolta degli scritti è divisa in sei parti. Nella prima parte si trova l'autobiografia del 1949. Nella seconda parte si trovano 15 scritti strettamente scientifici, che includono i saggi del 1905 sulla relatività ristretta e l'articolo del 1916 sulla relatività generale. La terza e quarta parte contengono rispettivamente scritti di divulgazione scientifica e di riflessione epistemologica. Le pagine dedicate a Politica e Società illustrano l'impegno civile di Einstein sono contenute nella quinta parte. L'ultima sezione del volume presenta un estratto dell'epistolario di Einstein.


    PARTE PRIMA    L'ITINERARIO INTELLETTUALE

    Autobiografia scientifica (1949)

    PARTE SECONDA    LA RICERCA

  1. La teoria molecolare generale del calore (1904)
  2. Un punto di vista euristico relativo alla generazione e alla trasformazione della luce (1905)
  3. Il moto delle particelle in sospensione nei fluidi in quiete, come previsto dalla teoria cinetico-molecolare del calore (1905)
  4. L'elettrodinamica dei corpi in movimento (1905)
  5. L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? (1905)
  6. La teoria della generazione e dell'assorbimento della luce (1906)
  7. La teoria planckiana della radiazione e la teoria dei calori specifici (1907)
  8. Lo stato attuale del problema della radiazione (1909)
  9. L'effetto della gravitazione sulla propagazione della luce (1911)
10. Lo stato attuale del problema dei calori specifici (1911)
11. I fondamenti della teoria della relatività generale (1916)
12. La teoria quantica della radiazione (1917)
13. Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale (1917)
14. La descrizione quantica della realtà può essere considerata completa? (1935)
15. La deflessione della luce nel campo gravitazionale di una stella fa agire quest'ultima come una lente (1936)

    PARTE TERZA    LA DIVULGAZIONE

    Relatività: esposizione divulgativa (1917/1950)

    Seguono 5 appendici
   
    PARTE QUARTA    LA CONOSCENZA FISICA

    PARTE QUINTA    POLITICA E SOCIETÀ

    PARTE SESTA   LETTERE

 1. A Michele Besso (1909-1954)
 2. A Max Born (1926-1954)
 3. A Maurice Solovine (1930-1952)

http://www.tecalibri.info/E/EINSTEIN-A_opere.htm


2)   Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli, 1988


E’ un manuale Hoepli edito nel 1913, in cui sono raccolti e illustrati diversi problemi, riguardanti vari settori della matematica e della geometria.
Il libro spazia dai paradossi logici a quelli algebrici, dai percorsi minimi ai poliedri magici, dai problemi geometrici elementari ai rompicapo veri e propri, tutti adeguatamente risolti.

Il sottotitolo del libro è infatti: Problemi bizzarri - Paradossi algebrici e meccanici - Moto perpetuo - Grandi numeri - Curve e loro tracciamento meccanico - Sistemi articolati - Quadratura del circolo - Trisezione dell'angolo - Duplicazione del cubo - Geometria della riga e del compasso - Rompicapo geometrici - Iperspazio - Probabilità - Giochi - Quadrati - Poligoni e poliedri magici.

3)   Steven Weinberg, I primi tre minuti, Mondadori, 1977


Steven Weinberg racconta in modo chiaro i primi tre minuti dopo il Big Bang. Le ricche appendici raccolgono la parte teorica e le formule.
Premio Nobel per la fisica nel 1979 con Abdus Salam e Sheldon Glashov, grazie al suo contributo alla teoria dell'interazione elettrodebole, che presenta la forza elettromagnetica e quella nucleare debole come aspetti di una stessa forza che appaiono differenti in certe condizioni fisiche.
L'idea di scrivere il libro arrivò a Weinberg alla fine del 1973, dopo aver scritto il testo universitario Gravitation and Cosmology, e l'opera fu completata nel 1976.
I primi tre minuti non è solo una ricostruzione dei primi istanti dell’Universo, vengono spiegati tra l’altro: i comportamenti delle particelle fondamentali, la legge di Hubble, la radiazione di fondo, la teoria del corpo nero, lo spostamento verso il rosso, l'effetto Doppler ed i possibili scenari futuri.
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology - Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, 1972


4)   Margherita Hack, L' Universo nel terzo millennio, Rizzoli, 2007


La bibliografia dell'autrice in cui scegliere e’ molto ampia e variegata, ma volendo sceglierne uno solo, questo e’ il libro scientifico che meglio racconta l’astronomia.
Margherita Hack accompagna il lettore in un viaggio nello spazio e nel tempo: dalle stelle vicine a noi alle più lontane galassie, dalla struttura complessa di oggi all'uniformità dell'Universo primordiale.

5)   Lucio Lombardo Radice, L’infinito, Editori Riuniti, 1983

Il libro, in sole 143 pagine, spazia da Aristotele, ai paradossi dell'infinito potenziale, agli infinitesimi di Torricelli, alla teoria dei numeri e degli insiemi ed alla classificazione e misura dei transfiniti operata da Cantor, fino alle antinomie di Russel. Un buon punto di partenza per questi argomenti ed un ottimo modo di approcciare l’infinito …

6)   James Gleick, Caos - La nascita di una nuova scienza, Rizzoli, 2000


James Gleick  prende in considerazione gli aspetti fondamentali della teoria del Caos come la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, gli attrattori strani, le connessioni con la teoria dell'informazione e le connessioni con l'insieme di Mandelbrot.
In 350 pagine viene raccontata tutta la storia di scienziati, fisici, matematici, biologi, meteorologi, fisiologi e psicologi, che hanno permesso di confluire in uno studio sistematico degli aspetti di rilevanza pratica dei sistemi non lineari.
Leggendo questo libro si comprende perché lo studio del Caos possa essere così utile nella conoscenza della realtà.




7)   Mario Livio, L’equazione impossibile, Rizzoli, 2005


I protagonisti del libro di Mario Livio sono due geni vissuti all'inizio dell'Ottocento e morti giovanissimi, il norvegese Abel e il francese Galois. Entrambi dimostrarono che non poteva esistere una formula per risolvere le equazioni di quinto grado o superiori. Gli strumenti matematici utilizzati portarono alla formulazione della teoria dei gruppi.
È una storia che parte dagli egizi e dai babilonesi, risolutori delle equazioni di primo e di secondo grado, e prosegue nel Rinascimento italiano, in cui Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Ludovico Ferrari arrivarono a risolvere quelle di terzo e quarto grado.

http://www.tecalibri.info/L/LIVIO-M_equazione.htm





8)   Benoît B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali, Einaudi, 1987



Dal retro di copertina della prima edizione italiana del 1987:
“L'indagine della natura ha trovato un nuovo codice interpretativo nella matematica. Una decina di anni fa Benoît B. Mandelbrot ha descritto in termini grafici forme e processi naturali, quantificando il loro grado di «erraticità» attraverso rigorosi metodi matematici. Nasceva quella branca della matematica che Mandelbrot ha chiamato «geometria dei frattali». A differenza della geometria euclidea, cosi rigida nel rappresentare il mondo visibile, e così lontana dal poter raffigurare le forme reali, la geometria dei frattali è capace di rappresentare i profili di una montagna o di una costa, le nuvole, le strutture cristalline e molecolari, e addirittura le galassie. La parola «frattali» definisce una rappresentazione grafica composta di linee spezzate (dal latino «fractus»), dall'andamento apparentemente irregolare, che sono in sostanza delle strutture matematiche, capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli.
In questo volume, che si presenta riveduto e aggiornato rispetto alle edizioni originali francesi, è lo stesso Mandelbrot a presentare la propria teoria, che si è dimostrata così fertile di applicazioni in ogni campo della ricerca scientifica e tecnologica, aprendo tra l'altro nuove frontiere alla computer graphics.
Il volume rappresenta dunque un punto di partenza essenziale tanto per chi vuole accostarsi alla geometria frattale mosso da un interesse prettamente epistemologico, quanto per chi, avendo già una qualche dimestichezza con strutture matematiche «aberranti e curiose», quali la curva di Peano o l'insieme di Cantor, cerchi per esse un'interpretazione semplice e concreta.”

9)   Piergiorgio Odifreddi, La matematica del ‘900, Einaudi, 2000

Per Odifreddi vale lo stesso discorso fatto per Margherita Hack. In questo caso la scelta va al libro che riesce a sintetizzare un secolo di storia della matematica con chiarezza ed efficacia.
Nel libro, Odifreddi fa un veloce resoconto delle scoperte e degli sviluppi della matematica suddiviso in quattro filoni: i fondamenti, la matematica pura, la matematica applicata e la matematica al calcolatore.
Si narrano le soluzioni di alcuni dilemmi, dal teorema di Fermat all'ipotesi del continuo. Si rivedono in luce moderna le teorie classiche, dall'aritmetica alla geometria. Si assiste alla nascita di nuovi strumenti, dal calcolo tensoriale alla teoria dei giochi. Si scoprono applicazioni nei campi più svariati, dalla cristallografia all'economia, dall'ipotesi di Riemann alla congettura di Poincaré.

10)  Richard Courant e Herbert Robbins, CHE COS'E' LA MATEMATICA?, Seconda edizione riveduta da Ian Stewart, Bollati Boringhieri, 2000


Nella "Prefazione del curatore alla seconda edizione" si legge che "La matematica formale è come la grammatica: una questione di applicazione corretta di regole locali. La matematica significativa è come il giornalismo: racconta storie interessanti (A differenza di certo giornalismo, le storie devono essere vere.) La matematica migliore è come la letteratura: fa vivere una storia davanti ai vostri occhi e vi coinvolge dal punto di vista intellettuale ed emotivo...Cos'è la matematica? Unica." Questo libro offre una descrizione chiara e accessibile del mondo matematico. Il libro, di 671 pagine, può essere letto anche per gruppi di capitoli. Nelle ultime edizioni Ian Stewart ha aggiunto un intero nuovo capitolo dedicato ai recenti sviluppi della matematica e ha inserito anche commenti e integrazioni in varie parti del testo.

http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/af_file/courant.htm
http://www.math.it/libri/checose.htm
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martedì 6 dicembre 2011

87. La risposta e’ 42

Quanto e’ grande l’Universo?  Oppure, ponendo la domanda in un altro modo, qual’e’ la maggior distanza alla quale possiamo vedere un oggetto?
Alla prima domanda non e’ semplice dare una risposta, mentre, con le considerazioni fatte in seguito,  per la seconda la risposta e’ 42 miliardi di anni luce.

L’età’ dell’Universo stimata e’ di 13,75 miliardi di anni, ma per semplicità nel calcolo verra’ utilizzato il valore di 14 miliardi di anni (mld di anni).

Consideriamo Il modello di Eistein-DeSitter, cioè un modello di Friedmann dominato da materia con curvatura nulla (k=0). Questo modello corrisponde ad un Universo di Minkowski (lo spazio piatto della Relatività Speciale), nel quale l'Universo continuerà ad espandersi all'infinito.
Per un Universo di Einstein-DeSitter, il fattore di scala a evolve come t 2/3 , per esempio se l’età’ raddoppia le dimensioni aumentano di un fattore 1,59 o anche se l’età’ diventa 8 volte, le dimensioni diventano 4 volte quelle iniziali:  4 = 82/3 .
Come prima approssimazione si consideri un fotone che dopo aver viaggiato 7 miliardi di anni si trova a metà percorso. A questo punto raddoppiando il tempo i primi 7 mld di anni luce aumentano del fattore 1,59 e diventano 11,11 mld di anni luce; sommando i restanti 7 si ha un totale di 18,11 mld di a.l.; riassumendo si ha:
7 · ( 1,59 + 1 ) = 18,11 miliardi di anni luce.
Se si divide il percorso in 4 parti uguali, i vari intervalli subiranno diverse dilatazioni ed in questo caso si avra’:
(4/1)2/3 + (4/2)2/3 + (4/3)2/3 + (4/4)2/3  =  2,52 + 1,59 + 1,21 + 1  =  6,32
e moltiplicandolo per l’intervallo 14/4 = 3,5 si ottiene:  22,12 miliardi di anni luce.
La distanza D percorsa si ottiene aumentando il numero di intervalli.  Al limite il valore della serie tende al calcolo dell’integrale:

Da cui si ricava che dopo 14 mld di anni la distanza massima percorsa da un fotone e’ proprio 42 miliardi di anni luce.


Douglas Adams nel romanzo di fantascienza “Guida galattica per gli autostoppisti”, racconta di un gruppo di scienziati che costruisce Pensiero Profondo, il secondo più grande computer di tutti i tempi e di tutti gli spazi, per ottenere la risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull'Universo e Tutto quanto.
Dopo sette milioni e mezzo di anni il computer fornisce la risposta: "42".


http://www.aoc.nrao.edu/~mpannell/tesi/node12.html
http://www.astrosurf.com/cosmoweb/documenti/numeri.html
http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmology_faq.html#DN
http://zibalsc.blogspot.com/2011/01/15-spaziotempo-di-minkowski.html
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domenica 20 novembre 2011

86. Velocità di fuga

La velocità di fuga è la velocità minima con la quale un oggetto senza propulsione deve muoversi per potersi allontanare indefinitamente da una sorgente di campo gravitazionale (trascurando altri fattori come l'attrito).
Si può dimostrare che il suo valore e’:


dove G e’ la costante di gravitazione universale, M ed R sono la massa ed il raggio del pianeta.
    
Sulla superficie della Terra la velocità di fuga è pari a circa 11,2 km/s (40.320 km/h),
su  Giove (pianeta più grande del sistema solare) e’ 59,5 km/s  ( 214.560 km/h)  e sulla  Luna  2,38 km/s ( 8.280 km/h).
Anche se elevate, questi valori sono 3 o 4 ordini di grandezza inferiori alla velocità della luce c.

Come confronto si possono considerare ad esempio le seguenti velocità:

velocità del suono a livello del mare                           340 m/s       ( 1.225 km/h)   
velocità di un proiettile sparato da un fucile M16        975 m/s       ( 3.510 km/h)    
velocità con cui orbita la Terra intorno al Sole          29,8 km/s   ( 107.280 km/h)     

Nel sistema solare sono presenti 8 pianeti:

Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano e Nettuno;

il più grande e’ Giove (143.000 km di diametro), mentre il più piccolo e’ Mercurio (4.878 km di diametro)
Plutone non e’ nell’elenco in quanto e’ stato declassato a pianeta nano dalla risoluzione dell' I.A.U. (International Astronomical Union)  approvata il 24 Agosto 2006.
L' I.A.U. riconosce 5 pianeti nani: Cerere, Plutone, Haumea, Makemake ed Eris.

In particolare Cerere (952 km di diametro) è l'asteroide più massiccio della fascia principale del sistema solare; fu inoltre il primo ad essere scoperto, il 1º gennaio 1801 da Giuseppe Piazzi, e per mezzo secolo è stato considerato l'ottavo pianeta.  Johann Elert Bode pensò che Cerere fosse il "pianeta mancante" previsto da Johann Daniel Titius, orbitante fra Marte e Giove a una distanza, secondo la legge di Titius-Bode, di 419 milioni di chilometri (2,8 UA) dal Sole.
La legge di Titius-Bode è una formula empirica che descrive con buona approssimazione i valori dei semiassi maggiori  a  delle orbite dei pianeti del sistema solare (espressi in unità astronomiche) e viene espressa con la semplice formula:

dove n assume i valori  0, 1, 2, 4, 8, 16, …



La velocità di fuga per Cerere e’ 510 m/s, per cui un proiettile sparato da un fucile potrebbe fuggire dal pianeta, in quanto la sua velocità sarebbe quasi doppia di quella necessaria per abbandonare Cerere.


Nota:
In astronomia, l'unità astronomica (UA) è un'unità di misura pari alla distanza tra il pianeta Terra e il Sole.  Durante l'anno la distanza media è di 149.597.870 km.