sabato 28 gennaio 2012

96. Labirinti

Wikipedia definisce labirinto una struttura, solitamente di vaste dimensioni, costruita in modo tale che risulti difficile per chi vi entra trovare l'uscita.
In Inghilterra il più popolare dei labirinti da giardino fatto di alte siepi fu progettato nel 1690 per il Palazzo di Hampton Court vicino a Londra.



Da un punto di vista matematico un labirinto e’ un problema di topologia. Anche se il foglio viene deformato il percorso non cambia, cioè e’ un invariante topologico.
Se esiste un solo ingresso e lo scopo e’ di trovare la via d’uscita, la cosa può essere risolta tenendo il dito a contatto con la parete destra mentre si cammina. Anche se il percorso non sarà sempre il più breve, si arriverà sempre all’uscita. Nel caso in cui la meta si trovi all’interno del labirinto, vale lo stesso discorso, purché non vi sia un percorso lungo il quale si possa girare intorno alla meta e tornare al punto di partenza.
L'algoritmo di Tremaux consiste nel seguire un percorso scelto a caso fino a raggiungere un incrocio, marcando la via che è stata percorsa fino a quel momento (nel caso in cui il corridoio conduca a un vicolo cieco, è necessario tornare indietro fino all'incrocio precedente, marcando la via all'andata e al ritorno). A ogni incrocio  si prende preferibilmente un corridoio non segnato come percorso in precedenza, e se ciò non è possibile, si prende una via percorsa una sola volta. In ogni caso non è permesso scegliere una via che è stata già marcata due volte. Iterando il procedimento per ogni incrocio che si trova sul proprio percorso, l'algoritmo permette di raggiungere l'uscita (o se il labirinto non ha altre uscite oltre a quella imboccata per entrare, di tornare all'entrata).

Ma quanto è lungo un labirinto?  Se per comodità di calcolo lo pensiamo con corridoi larghi un metro e se ricoprisse l’area di un campo di calcio ( 105 x 68 = 7140 metri2 ) avrebbe un’estensione lineare di 7,14 km, mentre con un'area equivalente ad una città come Milano (superficie 181 km2 = 181.000.000 m2 ) sarebbe lungo 181.000 km, più di 4 volte la misura dell’equatore terrestre.

Infine la superficie della Terra ( 5,1 x 1014 m2 ) e’ per il 70,8% coperta da acqua, mentre il rimanente 29,2% emerso consiste di montagne, deserti, pianure e altipiani.
Un labirinto che ricoprisse il 10% della superficie terrestre si estenderebbe per 340 Unità Astronomiche (UA), cioè indicativamente una decina di volte la distanza da percorrere per raggiungere Plutone.

http://utenti.quipo.it/base5/combinatoria/labirinti.htm

Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici, Vol. II, Sansoni, 1973
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Abstract -  Labyrinth: how to exit from it.
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sabato 21 gennaio 2012

95. Galleria di Stampe

Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 giugno 1898 – Laren, 27 marzo 1972) è stato uno dei più famosi grafici ed illustratori di tutti i tempi. È conosciuto principalmente per le sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che tendono a presentare costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito, tassellature del piano e dello spazio e motivi a geometrie interconnesse che cambiano gradualmente in forme via via differenti.

Nel 1956, Escher fece una litografia, cui diede il titolo di “Prentententoonstelling”,
la cui traduzione italiana e’  Galleria di Stampe
In questa stampa un giovane ammira un quadro esposto in una galleria d'arte, in cui e’ rappresentato il porto di una piccola città (probabilmente La Valletta a Malta). Continuando in senso orario, nella città e’ presente una galleria d’arte dove al suo interno e’ presente un giovane che ammira un quadro


Al centro troviamo un buco bianco con la firma di Escher.
Secondo l'analisi frattale, quella litografia può essere vista come una determinata curva ellittica sul piano dei numeri complessi che conduce a una sua ripetizione costante, ruotata in senso orario di circa 157,6255960832. . . gradi e rimpicciolita di 22,5836845286. . .   volte.
In parole povere, in quel buco ci si potrebbe incastrare l'intera immagine, rimpicciolita 22 volte e ruotata di 157 gradi. Con una zoomata continua e’ possibile procedere all’infinito all'interno della litografia.

Il diagramma che rappresenta questo ciclo continuo e’ il seguente:



Per costruire questa litografia Escher utilizzò la griglia riportata in figura:


dove spostandosi da un angolo al successivo (ad esempio dal punto A al punto B o viceversa) si ha una variazione di scala di un fattore 4. Dopo una rotazione completa si ritorna al punto di partenza dove il fattore diventa 44 = 256
In altre parole il giovane e’ circa 4 volte più grande del secondo uomo presente nella galleria d’arte e 16 volte di quello seduto sul terrazzo della casa.


Nell’ottobre del 1964 Escher si recò negli Stati Uniti per un ciclo di conferenze. Purtroppo però si ammalò e dovette essere ricoverato per un intervento chirurgico urgente. Tutti gli impegni vennero annullati e Escher non ebbe mai più occasione di tenere quelle conferenze. Aveva scritto il testo completo delle 2 conferenze in inglese. Fortunatamente, questi testi si sono conservati e sono stati successivamente raccolti nel libro:

M.C.Escher, Esplorando l’infinito, Garzanti


In merito alla “Galleria di Stampe” Escher scriveva:

“… lungo i margini l’immagine si espande ad anello, in senso orario, e circonda un centro urbano vuoto. Cercherò di seguire quest’azione, a cominciare dall’angolo in basso a destra.
Varchiamo la soglia per entrare in una galleria di stampe. Le incisioni sono esposte sui tavoli e sui muri. Incontriamo subito un visitatore con le mani dietro la schiena e poi un giovane circa 4 volte più alto. Ha la testa tanto più grossa della mano per via dell’espansione circolare continua. Osserva l’ultima stampa di una serie appesa al muro; vede la nave, il mare e le case di una città sullo sfondo, che nella stampa e davanti a lui continuano a espandersi. In una delle case una donna guarda dalla finestra aperta. Essa e’ anche un particolare della stampa che il giovane osserva, proprio come la tettoia in pendenza che le sta sotto, e che protegge la galleria. Così, dopo avere girovagato con lo sguardo intorno al centro vuoto, dobbiamo concludere logicamente che lo stesso giovane e’ parte della stampa che sta osservando. In realtà egli si vede come un particolare dell’immagine:
la realtà e l’immagine sono una cosa sola.”

video


I video visionabili nel sito seguente possono aiutare ad approfondire la comprensione dei lavori di Escher.
http://www.youtube.com/watch?v=9WHdyG9mJaI&context=C3ceadd3ADOEgsToPDskLlwtChO3oZKUxKT4LOX5P
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Bruno Ernst, The Magic Mirror of M. C. Escher, Ballantine Books, New York, 1976
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http://zibalsc.blogspot.com/2011/02/35-escher.html


Dedicato a MC che mi ha fatto conoscere MCE

sabato 14 gennaio 2012

94. Sezioni di ipercubo

Nel post:   5. Sezioni di Cubo

si e’ visto che sezionando con un piano perpendicolare ad una diagonale maggiore  passante per il baricentro del cubo si ottiene un esagono regolare. 



In modo analogo, sezionando un ipercubo (4-dim.) con un iperpiano (3-dim.) perpendicolare ad una diagonale maggiore dell’ipercubo, partendo da un vertice, si ottengono nell'ordine: un punto, tetraedri ed ottaedri.


http://cip.physik.uni-bonn.de - hypercubus


In particolare nel baricentro dell’ipercubo si ottiene un ottaedro regolare.


Come nel caso del cubo, dove ognuno dei 6 lati dell’esagono appartiene ad una differente faccia del cubo, per l’ipercubo ognuna delle 8 facce dell’ottaedro appartiene ad uno degli 8 cubi che formano l’ipercubo.



The Hypercube  -  Livio Zucca  -  iread.it


http://cip.physik.uni-bonn.de/ScienceSite/hypercubus/animator/
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Abstract -  Sections of the hypercube and how to build an hypercube.
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domenica 8 gennaio 2012

93. Clorofilla ed Emoglobina

L’Universo e’ per il 99% composto da idrogeno e da elio. Nella crosta terrestre l’elio e’ praticamente assente, mentre la frazione di atomi di idrogeno non va oltre lo 0,22% del totale. Il 98% del numero di atomi presenti nella crosta terrestre appartiene ad otto elementi: ossigeno (47%), silicio (28%), alluminio (7,9%), ferro (4,5%), calcio (3,5%), potassio (2,5%) e magnesio (2,2%).
La composizione dell’acqua di mare e’ invece: idrogeno (66%), ossigeno (33%), cloro (0,33%), sodio (0,28%), magnesio (0,033%) e zolfo (0,017%), cioè per la maggior parte acqua salata ( H2O con ~ 1% di NaCl ).

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Questi dati, insieme a quelli della composizione del corpo umano, erano riportati in un articolo di “Le Scienze” numero 50 dell’ottobre 1972 “Gli elementi chimici della vita”.
A causa degli arrotondamenti i totali non sono esattamente 100. Gli elementi nei riquadri colorati dell’ultima colonna compaiono in una o più colonne poste a sinistra. E’ possibile osservare che il fosforo, il sesto elemento più abbondante nel corpo umano, e’ un elemento raro nella natura inanimata; anche il carbonio risulta altrove abbastanza scarso.
Otto metalli, presenti in tracce, sono stati identificati come costituenti in una grande varietà di enzimi che intervengono in numerosi processi metabolici: ferro, zinco, rame, cobalto, manganese, molibdeno, calcio e magnesio. In particolare il ferro, oltre alla funzione svolta nell’emoglobina, e’ un componente attivo del succino-deidrogenasi, uno degli enzimi responsabili dell’utilizzazione dell’energia contenuta negli zuccheri e negli amidi.

Clorofilla (molecola vegetale che trasforma l’energia luminosa in energia chimica) ed emoglobina (proteina contenuta nei nostri globuli rossi) hanno una struttura chimica simile: l’unica differenza sostanziale è che la clorofilla contiene magnesio (Mg) che fornisce alle piante il tipico colore verde, mentre l’emoglobina contiene ferro (Fe) che colora di rosso il sangue.

  Emoglobina                                          Clorofilla


domenica 1 gennaio 2012

92. Doomsday 2012

Quest’anno il Doomsday sarà Mercoledì*.

Saranno cioè Mercoledì, nei mesi pari i giorni:  4/4,  6/6,  8/8,  10/10  e  12/12,
mentre nei mesi dispari:  5/9,  9/5,  7/11  e  11/7.

Una breve spiegazione della “Doomsday Rule” si puo’ trovare nel post “30. Doomsday”.

Oltre ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche: Halloween, Ferragosto, il 25 Aprile e il 14 Marzo. Quest’ultimo, oltre ad essere l’anniversario della nascita di Albert Einstein, e’ anche famoso come Pi Day, il giorno dedicato al pi greco; la scelta è ispirata dalla grafia anglosassone del numero 3.14, grafia che indica l'approssimazione ai centesimi di pi greco. Inoltre alcuni celebrano la ricorrenza dalle ore 15, in modo di adeguarsi all'approssimazione 3.1415.
* Nel 2013 sarà Giovedì  e nel 2014 Venerdì.



http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_rule
http://rudy.ca/doomsday.html
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2008/12/16/il-giorno-del-giudizio/
http://xmau.com/notiziole/arch/200908/005852.html

http://it.wikipedia.org/wiki/Giorno_del_pi_greco
http://www.piday.org/
http://www.exploratorium.edu/pi/
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