domenica 29 dicembre 2013

132. Doomsday 2014

In tre precedenti post (30, 92 e 109) si è mostrato come ogni anno alcune date, semplici da ricordare, abbiano in comune lo stesso giorno della settimana (Doomsday). Questa regola è stata evidenziata dal prolifico matematico inglese John Horton Conway.

Il Doomsday dell'anno 2014 sarà Venerdì*.

Da Aprile saranno cioè Venerdì:

- nei mesi pari il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12,

- nei mesi dispari il 7/3, il 5/9, il 9/5, il 7/11 e l’11/7.

La regola mnemonica per i mesi pari è ovvia e deriva dal fatto che, a parità di numero, tra 2 mesi pari successivi ci sono sempre 61 giorni (30+31); avanzando di 2 giorni ogni 2 mesi si ha:  30+31+2=63 (9 settimane esatte).

Per i mesi dispari si ha sempre che la differenza tra giorno e mese è uguale a 4.

http://www.timeanddate.com/calendar/?year=2014


In aggiunta ai giorni elencati sopra, sono Doomsday anche:
l’ultimo giorno di Febbraio (a prescindere dal fatto che l’anno sia bisestile o meno),
il 25 Aprile, Ferragosto, Halloween e S.Stefano.

Lo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 Marzo) famoso come Pi Day, giorno dedicato a pi greco, per la grafia anglosassone del numero 3.14

* Nel 2015 Sabato, nel 2016 Lunedì e nel 2017 Martedì.


http://www.emba.uvm.edu/~rsnapp/teaching/cs32/lectures/doomsday.pdf
http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2010/12/20/calendario-perpetuo-mentale/
http://rudy.ca/doomsday.html

giovedì 26 dicembre 2013

131. Tesseratto

Nel post:  94.Sezioni di ipercubo  si è visto come sezionando un’ipercubo (4-dim.) con un iperpiano (3-dim.) si possano ottenere tetraedri ed ottaedri, oltre ovviamente a cubi e parallelepipedi.

Un ipercubo in 4 dimensioni è composto da:

8 Cubi,  24 Facce,  32 Spigoli  e  16 Vertici

e soddisfa l’estensione della formula di Eulero:       V + F = S + C       

Come avviene per un cubo, anche nel caso di un ipercubo si possono avere differenti tipi di rappresentazioni; come ad esempio questa dove tutti gli spigoli hanno la stessa lunghezza:
 

 

Oppure una proiezione centrale:

 

In 4 dimensioni, l'ipercubo è chiamato anche tesseratto (dal greco τέσσερις ακτίνες ovvero "quattro raggi").

Un famoso esempio di tesseratto e’ l'Arco de La Défense, un monumento moderno situato nel quartiere di La Défense a Parigi. Il nome ufficiale in francese è Grande Arche de la Fraternité (letteralmente "Grande Arcata della Fraternità").




http://www.mathematische-basteleien.de/hypercube.htm
http://zibalsc.blogspot.fr/2010/12/2-formula-di-eulero-per-i-poliedri.html

martedì 10 dicembre 2013

130. Colosseo e stadi ergodici

Le sezioni coniche sono curve piane ottenibili intersecando la superficie di un cono con un piano.
 



Ad esempio la circonferenza è il luogo dei punti la cui distanza da un punto dato è costante; questo punto è chiamato centro e la distanza è detta raggio della circonferenza; mentre l'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi.
 
Ovviamente per disegnare una circonferenza basta un compasso, mentre per l’ellisse esistono diversi metodi. Per quello che deriva direttamente dalla definizione sono necessari due chiodi e uno spago:
 
 
Esiste una costruzione con archi di cerchio che consente di approssimare in modo abbastanza preciso un’ellisse con un ovale:
 

 

I 4 archi di cerchio si raccordano in modo di garantire continuità della curva e della sua tangente, mentre il raggio di curvatura assume solo 2 valori ed ha punti di discontinuità nel passaggio da un arco di cerchio all’altro.
 
I progettisti del Colosseo sembrano aver adottato una costruzione di questo tipo con la divisione del perimetro in ottanta parti uguali. I quattro centri di curvatura sono diventati i punti di allineamento per gli assi delle strutture murarie.
La curva policentrica più adatta al perimetro ellittico è facilmente costruibile sulla base di un triangolo rettangolo che ha 3 e 4 come valore modulare per i cateti e 5 per l’ipotenusa.
 
Si potrebbe continuare con lo studio dell’ergodicità di queste figure:

Si definisce ergodico un processo statistico
che passa per tutti i punti possibili.

Il moto di una particella soggetta ad urti elastici all’interno di una circonferenza o di un’ellisse non e’ un processo ergodico, mentre si puo’ dimostrare che all’interno di un Colosseo si ottiene un moto ergodico.
Un esempio molto utilizzato è lo “Stadio di Bunimovich” riportato nella figura di destra.
 
 
 
 
 
 

sabato 16 novembre 2013

129. Radio per tutti

Prima di scrutare i misteri delle radiocomunicazioni riescirà forse interessante riepilogare per sommi capi le principali fasi storiche di questa giovane scienza
Inizia così il libro dell’ Ing. Ernesto Montù – RADIO PER TUTTI – Ulrico Hoepli, 1924, che nell’introduzione si sorprende del fatto che “Ogni giorno accade di parlare con conoscenti, amici, estranei che guardano increduli e trattano da visionario che dice loro che ovunque nel nostro Paese si possono ormai udire i concerti e le notizie che Londra, Parigi, Berlino e altre metropoli Europee trasmettono quotidianamente a ore prestabilite.
 
In Italia la prima trasmissione radiofonica sarà verso la fine dello stesso anno di pubblicazione del libro  (6 Ottobre 1924) con la voce di Maria Luisa Boncompagni. È un programma composto di musica operistica, da camera e da concerto, di un bollettino meteorologico e notizie di borsa.
La radiostoria inizia con le prime ricerche di Heinrich Hertz del 1879 (anno di nascita di Albert Einstein):
Hertz scoprì l’azione reciproca di due circuiti elettrici oscillanti per mezzo di onde elettriche. Il lettore non si spaventi di questi termini tecnici forse un po' ostici: uno di questi due circuiti, quello trasmettente, era un semplice rocchetto di induzione collegato con due punte metalliche in modo che tra di esse scoccavano delle scintille; l'altro, quello ricevente, era un semplice cerchio di metallo interrotto in un punto e provvisto di una impugnatura isolata. Ad ogni scintilla che scoccava tra le punte del circuito trasmettente, Hertz constatò che corrispondeva una piccolissima scintilla nel punto di interruzione dell'anello anche se questo era situato a qualche metro di distanza. Ciò poteva solo avvenire perché nell'anello veniva indotta una debole corrente e questa a sua volta doveva essere prodotta dalle onde elettriche che la scintilla del circuito trasmettente produceva nell'etere.
Prima di Hertz, nel 1867, il fisico inglese Maxwell, studiando la propagazione delle onde luminose e calorifiche, aveva enunciato che luce e calore sono forme di energia elettromagnetica ed aveva preconizzato l'azione a distanza di una scintilla per mezzo di onde propagantisi nell'etere. Le sue teorie si basavano su calcoli matematici; la sua morte avvenuta nel 1879 gli tolse la possibilità di vederle confermate sperimentalmente.
Gli esperimenti di Hertz, infatti, non solo provarono l'esattezza delle teorie di Maxwell, ma dimostrarono che nell'etere potevano essere generate delle onde non solo da una sorgente di luce, ma anche da una sorgente elettrica. Con dispositivi speciali che qui non interessa illustrare, Hertz poté provare infatti che le perturbazioni dell'etere causate dalle scintille hanno un moto oscillatorio e si propagano colla medesima velocità della luce. Egli poté inoltre provare l'analogia tra onde elettriche e onde luminose col riflettere, rifrangere e far convergere le onde elettriche per mezzo di specchi, prismi e lenti.
Hertz, che purtroppo morì giovanissimo    a soli 37 anni nel 1894  — non pensò a una applicazione della sua scoperta a scopi di segnalazione: egli aveva però costruito  in embrione il primo complesso radiotrasmettente e radioricevente.
 
Il libro prosegue raccontando del ventiduenne Guglielmo Marconi che nel 1896 si reca in Inghilterra munito di un apparecchio completo di telegrafia senza fili. Nel 1897 riesce a trasmettere a 15 chilometri, nel 1899 attraverso la Manica tra South Foreland e Boulogne, nel 1901 a 300 chilometri tra l'isola di Wight e la nave Lizard.


 
In quasi 400 pagine, con 193 illustrazioni e 6 tabelle, spiega che cosa sono le radioonde, come si trasmettono, come si ricevono e come funzionano i relativi apparecchi.
 

Si accenna anche a futuri sviluppi di trasmissioni a distanza,
 
come - la Televisione:
 
Una applicazione che forse non tarderà è quella della visione a distanza. In un non lontano avvenire sarà possibile non solo udire, ma contemporaneamente vedere ciò che avviene lontano.
Non solo potremo udire come già ora, l'esecuzione di un'opera in un teatro, ma vedremo altresì tutto ciò che avviene sul palcoscenico e nella sala.
Potremo da casa seguire lo svolgimento di qualunque avvenimento sportivo che ha, luogo a centinaia di chilometri di distanza.
Come potrà ciò essere possibile?
Un apparecchio ritrarrà la scena che si vuol trasmettere: in questo apparecchio di presa i raggi luminosi provenienti da tutti i punti della scena andranno ad impressionare in un dato ordine di successione un elemento fotoelettrico, cioè una specie di pila che genera una corrente la cui intensità varia a seconda della intensità, luminosa del raggio che la colpisce. La corrente prodotta sarà quindi una corrente pulsante con la quale sarà possibile modulare una corrente ad alta frequenza, come si fa per la, radiotelefonia.
Nella. stazione ricevente questa corrente verrà nuovamente rivelata e applicata a una sorgente di luce la cui intensità luminosa varierà a seconda della intensità della corrente. Questi raggi luminosi verranno distribuiti su uno schermo nel medesimo ordine di successione come per la presa e riprodurranno quindi la scena che si svolge davanti all'apparecchio di presa della stazione trasmettente.
Questo il principio teorico per mezzo del quale si può considerare la televisione fondamentalmente risolta.
 
o come  - il cinema parlante o Fonofilm:
 
Dall'America giunge la notizia che è ormai un fatto compiuto l'introduzione di una pellicola parlata negli spettacoli cinematografici di New York.
Il sistema concepito dallo stesso de Forest, si basa sul principio seguente: registrazione fotografica simultanea dei suoni e delle immagini sulle pellicole cinematografiche.
Le emissioni sonore degli attori cinematografici, i quali in questo caso debbono parlare come su un palcoscenico ordinario, sono raccolte da un microfono speciale che le trasforma in correnti elettriche come avviene in un telefono comune. Queste correnti sono amplificate alcune migliaia di volte e servono a modulare una corrente ad alta frequenza prodotta da un generatore analogo a quello che si impiega nel telefono senza fili. Le correnti così ottenute trovano un tubo riempito dì gas speciale che emette delle radiazioni azzurre, come in una lampada a mercurio. L'intensità luminosa irradiata dal gas varia proporzionalmente e istantaneamente col variare della corrente. Concentrando il fascio di luce, che esce dal tubo, sul margine della pellicola cinematografica, si possono registrare i suoni simultaneamente alle immagini. La fotografia dei suoni si presenta allora come una sottile striscia, striata di righe orizzontali la cui opacità varia secondo l'intensità della luce che l'ha impressionata.
Al momento della proiezione, per eseguire l'operazione inversa, cioè riprodurre i suoni secondo la fotografia, si proietta durante lo svolgimento della pellicola un fascio di luce qualsiasi, ma di una notevole intensità, sulla striscia che riproduce i suoni. Questo fascio luminoso, la cui potenza illuminante varierà con l'opacità delle strisce che ha traversato, viene a cadere sopra una pila foto-elettrica che possiede la proprietà di lasciar passare più o meno corrente elettrica secondo che è più o meno illuminata. Così la pila trasforma di nuovo in corrente di intensità variabile il suono fotografato sulla pellicola.
 
Montù riesce a fornire una precisa fotografia del periodo e a inserire una quantità di informazioni impressionante, comprese le varie legislazioni vigenti all’epoca.

In Italia i primi studi e le prime prove sperimentali di trasmissioni televisive furono effettuate a Torino a partire dal 1934, città che già ospitava il Centro di Direzione dell'EIAR (successivamente RAI). In seguito, l'EIAR stabilirà una sede a Roma, nel quartiere Prati, dove realizzerà la storica sede di Via Asiago 10 e a Milano in Corso Sempione.
 Il 22 luglio del 1939 entra in funzione a Roma il primo trasmettitore televisivo da 2 kW presso la stazione trasmittente EIAR di Monte Mario, che effettuerà per circa un anno regolari trasmissioni utilizzando lo standard a 441 linee sviluppato dalla Telefunken in Germania. Nel settembre dello stesso anno un secondo trasmettitore televisivo della potenza di 400 W viene installato a Milano sulla Torre Littoria (oggi Torre Branca) ed effettua trasmissioni sperimentali in occasione della XI Mostra della Radio e della XXI Fiera Campionaria di Milano.
 

mercoledì 9 ottobre 2013

128. Prova del 9

La prova del nove è un test usato per verificare l'esattezza di una moltiplicazione, ma può essere estesa anche alle altre operazioni. Non assicura, però, la certezza dell'esito: se negativo, il risultato dell'operazione sarà senz'altro errato; se positivo, vi è comunque 1 possibilità su 9, di un falso positivo, cioè che il risultato del calcolo sia comunque errato nonostante l'esito positivo della prova.

L’esempio che si può trovare in Wikipedia è il seguente:

1902 × 1964 = 3 735 528

Il primo passo è di sommare tutte le cifre di ogni operando e del risultato, fino ad ottenere un valore ad una sola cifra. Nel caso in cui dalla prima somma si ottenga un valore a più cifre si ripete la procedura fino ad averne una sola, cioè fino ad aver ottenuto la radice numerica del numero:

·         1902   1+9+0+2 = 12   1+2 = 3
·         1964   1+9+6+4 = 20   2+0 = 2
·         3 735 528   3+7+3+5+5+2+8 = 33   3+3 = 6

Poi le si collocano nella croce insieme al prodotto delle radici numeriche degli operandi
 
3 x 2 = 6

 
3
2
6
6

La “prova del 9” è semplice perché per determinare il resto della divisione di un numero per 9 basta sommare le sue cifre ripetutamente finché non resta un numero ad una sola cifra. Fare la prova dell'8 o del 7 sarebbe più complesso.
La prima spiegazione, di cui si ha traccia, è quella del 1202 data da Fibonacci.

In modo analogo esistono “prove” in ogni altra base numerica:
la “prova del 7” in base 8  o  la “prova del 15 (F)” in base 16.

Lo stesso esempio in base 16 sarebbe:

76E  x  7AC  =  38FFE8

·         76E    7+6+E = 1B   1+B = C
·         7AC   7+A+C = 1D   1+D = E
·         38FFE8   3+8+F+F+E+8 = 3F   3+F = 12    1+2 =  3

 Collocando i risultati nella croce come nell’esempio precedente

 C x E =  A8     A+8 = 12     1+2 =  3


C
E
3
3


Il sistema numerico esadecimale (base 16) utilizza 16 simboli (invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale); utilizza i numeri da 0 a 9 per le prime dieci cifre, e poi le lettere da A ad F per le successive sei cifre, per un totale di 16 simboli.


Tavola Pitagorica in base 16

Se oltre ad utilizzare i simboli da 0 a 9, si prendono in considerazione anche le 26 lettere dell’alfabeto inglese si ha la base 36. In lingua inglese la “prova del nove” viene chiamata “Casting out nines” (trad. “cacciare i nove”), che in base 36 diventa “Casting out Z’s”.

La base 36 può essere utilizzata per convertire stringhe alfanumeriche in stringhe numeriche o viceversa.  Ad esempio:  44gatti  diventa  8976373110.

La conversione può essere fatta con:  http://www.kaagaard.dk/service/convert.htm

C’è anche chi si diverte a trovare parole con senso compiuto che siano numeri primi in base 36, come ad esempio BROOKLYN   (922271388719).


http://www.johndcook.com/blog/2011/05/12/casting-out-zs/
http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/provanove.htm
http://xmau.com/mate/light/provadel9.html


domenica 29 settembre 2013

127. Difetto di massa

Nel post:  80. Relazione Massa Energia si è ricordato come Albert Einstein nell’articolo sulla Relatività Speciale "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik 17, 891–921 (Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento),
riuscì a ricavare la famosa relazione che lega l’energia di un corpo in movimento alla sua massa a riposo e alla sua velocità:  E = mc2 

In un precedente post:  47. Energia Solare” si è visto come l’energia irradiata dal Sole al secondo ( DE »  3.8 x 1026 J )  corrisponda ad una massa di 4.2 x 109 kg.
 
Questi numeri sono troppo grandi per comprendere i valori in gioco.
Vediamo allora qualche altro esempio.
 
Se riuscissimo a convertire completamente in energia 1 kg di materia, otterremmo una quantità pari all’energia elettrica consumata in Italia in un mese.
 
Convertendo un milligrammo di materia una famiglia potrebbe avere energia elettrica per 10 anni.
In una reazione nucleare, sia fusione che fissione, il difetto di massa (cioè la massa mancante a fine processo) è circa solo un millesimo del materiale impiegato.
Little boy” (la bomba fatta esplodere su Hiroshima il 6 agosto 1945) conteneva 64,13 chilogrammi di uranio arricchito  235U, ma si calcola che solo 0,7 kg contenuti nella bomba (pari all'1,1%) subirono la fissione nell'esplosione.
 
In questo caso il difetto di massa fu meno di 1 grammo (700 mg circa), ma fu sufficiente per sviluppare un’energia di 67 TJ o equivalentemente 16 chilotoni.
 
 
 
 
La follia dell’uomo è arrivata a realizzare e fare esplodere (30 ottobre 1961) la bomba H “Zar”, con un’energia di 50 megatoni, più di 3000 volte superiore a “Little boy”.
 
 
 
Abstract - Mass Defect

venerdì 2 agosto 2013

126. La Terra vista dalla Luna

Un Earthrise (Sorgere della Terra) che potrebbe essere visto dalla superficie della Luna sarebbe molto diverso dalle albe sulla Terra.
Infatti, poiché la Luna è in rotazione sincrona con quest’ultima, un lato della Luna è sempre rivolto verso la Terra.

Ciò potrebbe indurre a credere che la posizione della Terra sia fissa nel cielo lunare e non possano verificarsi “earthrises”, e in prima approssimazione è vero. Tuttavia, la Luna libra leggermente, cioè compie piccole oscillazioni intorno al proprio asse di rotazione.

Questo fa sì che la Terra disegni una figura di Lissajous nel cielo inserita all'interno di un rettangolo di 15° 48' x 13° 20' (in quote angolari), mentre il diametro angolare della Terra come visto dalla Luna è solo di circa 2°. Ciò significa che “earthrises“ siano visibili in prossimità del bordo della Luna osservabile dalla Terra (circa il 20% della superficie).

Poiché un ciclo di librazione completo dura circa 27 giorni, ci vogliono circa 48 ore per la Terra per cancellare il suo diametro.


Quanto visto dai 12 astronauti delle varie missioni Apollo allunati dal luglio ‘69, possiamo visualizzarlo con un simulatore spaziale come Celestia, che, essendo un software libero, può essere scaricato e utilizzato gratuitamente.
 
video
 
Nel video l’osservazione è velocizzata 40.000 volte.


Se ci trovassimo al centro della Luna osservabile la Terra sarebbe sempre sulla verticale (Zenit).

Mentre un osservare posto sulla Faccia nascosta della Luna non riuscirebbe mai a vedere la Terra.


http://www.shatters.net/celestia/
http://it.wikipedia.org/wiki/Celestia
http://it.wikipedia.org/wiki/Librazione

http://news.tecnocomputer.it/forums/archive/index.php/t-21495.html

Grazie a DA per i preziosi consigli.

venerdì 19 luglio 2013

125. Galilei: Salviati, Simplicio e Sagredo

All'interno di un dato sistema di riferimento non è possibile evidenziare il moto rettilineo e uniforme dello stesso sistema,

o, in altre parole,

le leggi fisiche per osservatori in moto relativo rettilineo ed uniforme devono avere la stessa forma.
 

E’ abbastanza spontaneo (e sicuramente corretto) abbinare il concetto di Teoria della Relatività ad Albert Einstein, mentre è meno immediato metterlo in relazione a quanto scritto da Galileo Galilei quattro secoli orsono.

Forse perché descritto nell’italiano del seicento oppure perché basato su un Dialogo fra tre personaggi, dove ognuno interpreta un preciso ruolo come nella commedia dell’arte. La cosa più sorprendente è come, senza formule, riesca ad esprimere un fondamentale principio della Fisica.

In seguito Einstein con la Relatività Ristretta fece un’estensione di questo postulato alle equazioni di Maxwell (che esprimono le leggi dell'elettromagnetismo ed hanno come conseguenza il fatto che la velocità della luce nel vuoto sia la stessa per osservatori che utilizzino sistemi di riferimento inerziali).

Per mezzo di Salviati, si invitano Simplicio e Sagredo ad un esperimento mentale, e, immaginandosi sotto coperta di una nave, si stabilisce un'analogia tra gli avvenimenti che accadono sulla superficie terrestre e quelli che avvengono su un Gran Naviglio. Il lettore è così trasportato sottocoperta di una nave, in modo di non essere soggetto all'attrito dell'aria, e qui, sottocoperta, iniziano a verificarsi gli stessi avvenimenti, senza che ci possa essere nulla che permetta di rilevare il moto della nave.



Salviati, Giornata seconda.

«Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, equali spazii passerete verso tutte le parti.
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma.
Voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, nè, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso la poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella loro acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate [...].»
 
 
 
 
 
Abstract - Galilean invariance