venerdì 28 giugno 2013

124. 33 years after

27 giugno 1980, venerdì, una bella serata, concerto a S.Siro. In quegli anni se si arrivava a spettacolo iniziato si poteva sperare di entrare gratis. Chiedo agli amici ma nessuno sembra interessato, decido di passare a vedere qual è il clima.
Lo stadio illuminato a giorno e piazzale Axum deserta. Parcheggio. Attraverso il piazzale e arrivo davanti all’entrata principale aperta e non presidiata. Entro. Salgo sino all’ultimo anello. Le luci si abbassano e comincia la musica.
Più o meno nello stesso istante l’aereo Itavia IH870 in volo su Ustica veniva abbattuto con 81 persone a bordo e nella stessa estate alla stazione di Bologna esplode una bomba che uccide altre 85 persone.
E mentre 100.000 persone fanno oscillare le gradinate, una splendente Luna piena fa capolino su uno degli ultimi concerti di Bob Marley.
 

domenica 2 giugno 2013

123. Paradosso dei Gemelli - bis

Del Paradosso dei Gemelli si è già parlato due anni fa nel post 67, ma uno dei passaggi riguardante il calcolo del tempo trascorso in uno dei 2 sistemi di riferimento arrivava a considerazioni sbagliate. Questo può succedere per motivi legati alla fiducia riposta in Wikipedia o alla pigrizia nel ripetere tutti i conti.
Riprenderemo in sintesi quanto già scritto, correggendo gli errori e aggiungendo esempi dettagliati e alcune tabelle.
Pur essendone un assiduo frequentatore, non sono in grado di correggere la pagina di Wikipedia riguardante il Paradosso dei Gemelli che riporta alcune conclusioni inesatte o spiegate in modo non chiaro, ma sarei felice di collaborare al miglioramento dei contenuti. Voglio ringraziare Maurizio Cavini che ha evidenziato l’incongruenza delle conclusioni ottenute.

L'apparente contraddizione del Paradosso consiste nel considerare l’evoluzione temporale di 2 Gemelli, di cui uno decide di partire per un viaggio interstellare mentre l’altro rimane a Terra ad attenderlo.
Per quanto previsto dalla Relatività Ristretta di Albert Einstein, ognuno dei  2 sistemi inerziali in moto uniforme, vede il tempo dell’altro sistema dilatato, cioè gli orologi risultano rallentati.

Nell’esempio riportato in Wikipedia: Paradosso dei gemelli, nell’anno 3000 un’astronave parte per un viaggio sino a Wolf 359 (distante 8 anni luce).

Si suppone che la velocità relativa sia:     v = 240.000 km/s  (cioè v = 0,8 c).     

Per questa velocità si ha:

per cui, secondo la teoria della Relatività Ristretta, nel sistema in movimento il tempo scorre al 60% del tempo nel sistema in quiete.

Quindi:

1)         nel sistema di riferimento della Terra, l'astronave percorre 8 anni luce in 10 anni nel viaggio di andata, e ne impiega altrettanti nel viaggio di ritorno:

ritorna sulla Terra nel 3020.

Sull'astronave il tempo scorre al 60% di quello terrestre e secondo l'orologio dell'astronauta il viaggio dura 6 anni per l'andata e altrettanti per il ritorno: all'arrivo il calendario dell'astronave segna l'anno 3012 ed il gemello rimasto sulla Terra è perciò, dopo il viaggio, di 8 anni più vecchio del suo gemello.

Sino a qui è tutto corretto. Ora però per considerare il punto di vista dell’astronauta, si devono prima fare alcune premesse; e cioè che tra 2 sistemi inerziali che si muovono di moto uniforme valgono i seguenti fenomeni:

a) le lunghezze si contraggono; per cui ponendo una stazione spaziale ogni anno luce (L0), l’astronauta misurerà ogni intervallo 0,6 anni luce,

b) i tempi rallentano; per cui l’astronauta vedrà i 9 orologi (posti sulla Terra, sulle 7 stazioni spaziali e vicino a Wolf 359) rallentare,

c) la simultaneità di 2 eventi non casualmente connessi dipende dal sistema di riferimento, per cui se sincronizziamo tra di loro i 9 orologi, l’astronauta, che all’istante iniziale si trova a passare vicino alla Terra, vedrà ogni singolo orologio in avanti di  

L0 v / c2  = ( 1 anno luce / c ) x ( v / c ) =  1 anno x 0,8  =  0,8 anni

Per l’osservatore T sulla Terra il suo calendario e quello del collega posizionato vicino a Wolf 359 segnerebbero il primo gennaio 3000, mentre l’astronauta A concorderebbe con la data del calendario terrestre, ma un evento su Wolf 359 avvenuto in modo simultaneo per T (il primo osservatore) il giorno 1/1/3000, sarebbe registrato da A  come avvenuto 6,4 anni dopo cioè il 27/5/3006.

            E’ importante precisare che non prenderemo in considerazione i ritardi dovuti al tempo di viaggio ed ai ritardi dovuti al fatto che la luce impiega anni ad arrivare all’osservatore, perché’ possiamo pensare di avere telecamere situate in ogni postazione che registrano i passaggi con le indicazioni di data e ora; ed in seguito inviano le informazioni a Terra o all’astronave.

E’ ora riproposto il punto di vista riveduto e corretto del secondo sistema di riferimento.

2)         nel sistema di riferimento dell'astronave, per effetto della contrazione relativistica delle lunghezze, la distanza fra Terra e Wolf 359 si accorcia al 60%, cioè da 8 a 4,8 anni luce. Alla velocità di 0,8 c, si impiegano quindi, secondo l'orologio dell'astronave, 6 anni per l'andata e 6 per il ritorno, coerentemente con quanto calcolato nel sistema di riferimento della Terra. Poiché in questo sistema di riferimento è la Terra a muoversi, è l’orologio di T che va al 60% del tempo A dell'astronave: quindi per A il tempo trascorso per T è di 3,6 anni solamente!!!

Ora però non si deve dimenticare che A vede gli orologi inerziali con T non simultanei tra loro ed in particolare quello posizionato vicino a Wolf 359 in anticipo di 6,4 anni.

3,6 anni  +  6,4 anni  =  10 anni

Quindi entrambi gli osservatori concordano che una volta arrivato vicino a Wolf 359 il calendario inerziale con T segnerà 1/1/3010, mentre quello di A il 1/1/3006.

Per evitare considerazioni legate all’accelerazione a cui si sottopone l’astronave per invertire la rotta, che, come mostrato nel precedente post, possono essere risolte con il formalismo utilizzato dalla Relatività Generale, possiamo supporre che una seconda astronave (la chiameremo B) si trovi a passare nei pressi di Wolf 359, con uguale velocità e direzione ma verso opposto, il 1/1/3010 (per T). Per B valgono le stesse considerazioni fatte per A, solo che  in questo caso la simultaneità degli orologi come visti da B risulta invertita rispetto a prima.

Non rifarò un altro ragionamento analogo al precedente, ma all’arrivo di B sulla Terra

il calendario terrestre indicherà  1/1/3020,  mentre quello di  B  1/1/3012.

e questo per entrambi gli osservatori.
 

Di seguito sono riportate alcune tabelle che esemplificano quanto detto in precedenza.

La prima tabella mostra i 9 orologi (posti sulla Terra, sulle 7 stazioni spaziali e vicino a Wolf 359) come visti dai 2 osservatori al momento della partenza; come si vede sono simultanei solo nel sistema inerziale terrestre:



La seconda tabella nella prima colonna mostra quanto indicato dai calendari simultanei a quello terrestre e naturalmente anche quello che vede l’astronauta al passaggio nelle varie stazioni spaziali, mentre nel resto della tabella quanto indicato dal calendario sull’astronave:
 

 

La terza tabella nella prima colonna mostra quanto visto all’andata da A e al ritorno da B in modo analogo alla situazione precedente, ma considerando a riposo il sistema inerziale della navicella spaziale:

 
 
Oltre ai libri già citati consiglio la lettura di:

Daniel Styer, Capire davvero la relatività, Zanichelli, 2012
http://online.scuola.zanichelli.it/chiavidilettura/capire-davvero-la-relativita/

che ha contribuito a chiarirmi le idee.

Hermann Bondi, La relatività e il senso comune, Zanichelli, 1965
L. D. Landau, E. M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Edizioni Mir, 1976
B.A. Dubrovin et al., Geometria contemporanea I, Editori Riuniti, 1987
Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, J.Wiley, 1972

http://zibalsc.blogspot.com/2010/12/12-postulati-della-relativita-speciale.html
http://zibalsc.blogspot.it/2011/06/67-paradosso-dei-gemelli_28.html