lunedì 28 dicembre 2015

201. Bokeh e Convoluzione

In questo periodo dell’anno capita di dover scattare qualche foto, e le luci di un albero di Natale possono essere un ottimo sfondo per realizzare foto originali.
Probabilmente avrete tutti visto o scattato qualche foto ove lo sfondo risulti “sfocato”.
Giusto per farsi un’idea, una foto di questo tipo:
 
Tratta da:  Kevin & Amanda


Ecco, questo è un tipico esempio di Bokeh.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera, potete venire a sapere che: “Bokeh è un termine del gergo fotografico derivato dal vocabolo giapponese "boke", che significa "sfocatura" oppure "confusione mentale". A partire dalla metà degli anni novanta, si è affiancato all'uso terminologico tradizionale di espressioni come contributo delle aree fuori fuoco o resa dello sfocato.” ed inoltre “Il concetto di bokeh risulta legato alla nozione di profondità di campo e con delle lenti adatte, l'effetto "sfocato" si può ottenere ricorrendo a un basso rapporto focale; le ottiche migliori per esaltare il bokeh sono i teleobiettivi e gli obiettivi per macrofotografia.” ed infine “Dal punto di vista matematico, la sfocatura di una fotografia può essere descritta come la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma.
La convoluzione è un importante concetto matematico; si tratta di un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell’integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Capisco che questo possa non risultare di facile ed immediata comprensione, ma anche in questo caso se andate a leggere la relativa voce di Wikipedia, potete trovare un paio di esempi molto esplicativi (uno è riportato nella nota in fondo al post).

Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Ad esempio, in acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro, mentre, nel nostro caso, in ottica, una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma; il termine fotografico per tale effetto, è, come detto sopra, Bokeh.

Dati una lente ed uno schermo posizionati ad una certa distanza, esiste una determinata posizione ove si deve posizionare un oggetto, perché la proiezione della sua immagine risulti a fuoco sullo schermo. Se l’oggetto risulta più vicino o più lontano, una sorgente puntiforme avrà una forma circolare (sfocata).





Se ci limitiamo al caso di oggetti posizionati sullo sfondo (più distanti) ci troveremo nella situazione rappresentata in figura: 
Ogni singolo cammino ottico passante da uno dei 4 punti (A,B,C,D) avrà come punto finale la corrispettiva lettera, cioè se avessimo un’immagine posizionata sulla lente, una volta proiettata sullo schermo, risulterebbe capovolta.
Di norma l’unica immagine posizionata vicino alla lente è la forma del diaframma. E’ per questo motivo che molte volte le luci sullo sfondo hanno forma esagonale.

Ma se vogliamo dare a queste luci un contorno che permetta di scattare foto originali, possiamo procedere come descritto in questo sito.

Ritagliate in un cartoncino una stella (o la figura che preferite) e trovate il modo di posizionarlo sull’obiettivo (avendo il diaframma impostato con un’apertura maggiore di quello della stella).



Potrete così ottenere immagini come queste:



Un esempio analogo di sagoma posta sulla lente è il Segnale di Batman:
 


Nota sulla convoluzione

I fotoni emessi da una sorgente puntiforme posta in un piano fuori fuoco, non arrivano tutti nello stesso punto dello schermo, ma entro un disco circolare che dipende dalla posizione dell’oggetto e dal diametro della lente.
Come mostrato in figura, se la base del cono B si sposta in alto o in basso, la sorgente entra ed esce dalla base del cono:
Nel nostro caso abbiamo considerato una sorgente puntiforme, ma se questa avesse una dimensione finita ci troveremmo nella stessa situazione mostrata nella pagina di Wikipedia:
Per una sorgente puntiforme ideale, una delle 2 funzioni può essere considerata come una Delta di Dirac.

Anche la Media Mobile può essere vista come un caso particolarmente semplice di convoluzione.



 
 

martedì 1 dicembre 2015

200. Media armonica

Durante un viaggio può capitare di chiedersi quanto tempo sarà necessario per arrivare a destinazione. Ad esempio se dobbiamo percorrere 200 km e stimiamo una velocità di crociera di 100 km/ora, non è difficile capire che prevediamo 2 ore di viaggio.
Poi arrivati a metà percorso ci accorgiamo che la velocita media è di soli 80 km/ora. E allora, se vogliamo recuperare rispetto alla tabella di marcia, a quale velocità dobbiamo percorrere la seconda metà del tragitto?

Ovviamente la risposta non è 120 km/ora, altrimenti il post finirebbe qui.

Un’altra domanda potrebbe essere: se andassimo ad 80 km/ora sino a metà percorso e 120 km/ora dopo, quale sarebbe la velocità media?


Prima di rispondere alle 2 domande, prendiamo in rassegna le 3 medie più utilizzate.



Media aritmetica

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente; quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione o il numero medio di figli per coppia).
Viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.
A volte alcuni elementi dell’insieme preso in considerazione hanno come valore la media (considerando ad esempio l’altezza degli italiani), mentre non ha senso dire che una coppia ha 1,4 figli.


Media geometrica

La media geometrica di n termini è la radice n-esima del prodotto degli n valori.


Media armonica

La media armonica di n termini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci. La media armonica è fortemente influenzata dagli elementi di modulo minore.



 

In generale si ha:       M aritmetica > M geometrica > M armonica


Inoltre per medie di 2 soli valori:

                        M aritmetica :  M geometrica  =  M geometrica :  M armonica


Prendiamo ad esempio i 2 valori 1 e 100, abbiamo rispettivamente:

Media aritmetica       ( 1 ; 100 )        50,5

Media geometrica     ( 1 ; 100 )        10

Media armonica        ( 1 ; 100 )          1,98


50,5  :  10  =  10  :  1,98


Torniamo ora al problema iniziale, cominciando dalla seconda domanda:

se andassimo ad 80 km/ora sino a metà percorso e 120 km/ora dopo, quale sarebbe la velocità media?

La risposta è 96 km/ora.

Proviamo a verificarlo con un esempio:

se dovessimo percorrere 480 km, per i primi 240 km ad 80 km/ora sarebbero necessarie 3 ore, mentre per gli altri a 120 km/ora basterebbero 2 ore; in totale 5 ore. Per cui 480 / 5 = 96 km/ora.

La media corretta è la Media armonica. Per 80 e 120 abbiamo infatti:

Media aritmetica       ( 80 ; 120 )     100

Media geometrica    ( 80 ; 120 )       97,98

Media armonica       ( 80 ; 120 )       96


100  :  97,98  =  97,98  :  96


La prima domanda chiedeva invece:

a quale velocità dobbiamo percorrere la seconda metà del tragitto?

La risposta è 133,33 km/ora.

Infatti:             Media armonica    ( 80 ; 133,33 )    100
 

Coppie di velocità che hanno come Media armonica 100 sono riportate in tabella:

 
 
Mentre in quest’altra tabella sono riportate le Medie armoniche di velocità che hanno come Media aritmetica 100:
 


 
Media armonica deriva dal fatto che in uno strumento a corda dimezzandone la lunghezza, la nota emessa raddoppia di frequenza e se riduciamo la sua lunghezza ad un rapporto 2/3 otteniamo una quinta, che è comunque in “accordo”.
Si dice che 1, 2/3 e 1/2 formano una progressione armonica (musicale), partendo da un Do si arriva al Sol e quindi al Do di un’ottava superiore.
Al passaggio successivo otterremmo 4/5 (terza), nel nostro esempio un Mi.

 



 

La formula per calcolare la Media armonica ricorda il calcolo del valore di resistenze poste in parallelo. Esiste anche un modo semplice per ottenere il valore della Media armonica in modo analogico:

 

Per lo schema A il valore della Resistenza Totale RT è la Media aritmetica di RA ed RB; mentre per lo schema B, RT rappresenta la Media armonica di RA ed RB.
 

Un esempio ingegnoso è rappresentato dal seguente schema:
 

 
Con l’interruttore aperto il valore del circuito è 50,5 ohm (Media aritmetica), mentre con l’interruttore chiuso è 1,98 ohm (Media armonica).
 

Per approfondire consiglio i seguenti post:






 

 

venerdì 20 novembre 2015

199. Acustica

Può sembrare strano, ma, in quasi 200 post, si è parlato raramente di acustica. Una volta con le Scale Musicali e precedentemente un breve accenno ai Colori dei Rumori.
Poi capita di comprare un bel libro e vengono in mente molti spunti.
Si tratta di: Trevor Cox, Pianeta acustico, ed. Dedalo (prefazione di Andrea Frova).

 
Voglio solo accennare qualche argomento del libro.
 
Il primo è che se portassero un organo da chiesa su Marte per suonare la Toccata e fuga in re minore di Bach, gli astronauti scoprirebbero che le note emesse dallo strumento avrebbero una frequenza inferiore a quella prevista: l’atmosfera marziana trasporrebbe la musica su una tonalità di sol diesis minore. La frequenza della nota emessa dalla canna di un organo dipende dal tempo impiegato dal suono a percorrere il tubo nei due sensi.
A causa della bassa gravità del pianeta (3,69 m/s²), Marte possiede un’atmosfera fredda e rarefatta, composta di anidride carbonica (95%), azoto (2,6%) e argon (1,6%):
il suono vi si propaga con una velocità pari a due terzi di quella terrestre e questo porta ad una diminuzione della frequenza.
 
Il secondo riguarda il rumore del Mascheretto (Tidal bore), un fronte d'onda che risale l'estuario di un fiume o l'imboccatura di una baia spinta dalla marea.
Il suono del Mascheretto e’ un fenomeno raro da sentire. Gli indigeni Tupi chiamano pororoca (rumore possente) il Mascheretto del Rio Araguari in Brasile. A Gloucester, in Inghilterra, c’e’ quello del Severn. Il risultato acustico e’ una miscela del rumore dei marosi su una spiaggia con il suono dell’acqua che defluisce in un canale di scolo. Nella classifica per altezza, il Mascheretto del Severn è quinto.
Hubert Chanson (un professore di ingegneria idraulica dell’Università del Queensland) ha analizzato l’acustica del Mascheretto di Mont Saint-Michel. Il rombo è dovuto alle bolle che si formano nel fronte dell’onda principale, mentre le frequenze più elevate provengono dalle onde che si infrangono sulle rocce. Le frequenze dominanti sono quelle comprese tra 74 e 131 hertz, che corrispondono alla prima ottava del pianoforte.
 
 
Ma ciò che ha ispirato maggiormente questo post è un effetto acustico che si verifica sotto alcuni portici, per esempio a Milano in piazza Mercanti, dove la voce viaggia da un angolo all'altro seguendo gli archi a volta.
 
 
 
 
 
 
 
Se ci si mette con la faccia rivolta verso un angolo, è sorprendente come si possa sentire in modo chiaro e distinto chi bisbiglia nell’angolo opposto, anche se altre persone al centro del portico parlano contemporaneamente.
 
 
 
Tornando a Trevor Cox, un intero capitolo del libro è dedicato agli “archi dei sussurri”. Quello indicato come preferito si trova in Irlanda nell’antico sito monastico di Clonmacnoise. Un portale gotico del XV secolo si apre sui ruderi della cattedrale, ormai priva di tetto.
 
 
 
La tradizione vuole che un tempo il portale avesse una funzione decisamente insolita: si racconta che i lebbrosi andassero a un lato del portale per bisbigliare i propri peccati nella scanalatura dell’architrave. Il prete si metteva all’altra estremità dell’arcata, abbastanza lontano da evitare l’infezione, e ascoltava la confessione trasmessa dall’architrave.
 
 

domenica 25 ottobre 2015

198. Acqua, Luce e Gas

Questo è uno di quei classici problemi presente in molti libri divulgativi.

Ci sono 3 case e 3 aziende che forniscono servizi: Acqua, Luce e Gas.
Ovviamente ogni casa deve ricevere i 3 servizi. Nel mondo reale (avendo a disposizione 3 dimensioni) il problema sarebbe facilmente risolvibile, ma nel mondo matematico possiamo imporre le condizioni che vogliamo, ad esempio:
 
1)    non si può uscire dal piano;
2)    non si può passare dove sono presenti altri servizi o aziende e case.
 
Henry Dudeney (1857–1930) scrisse che il problema è "vecchio come le colline ... molto più vecchio di illuminazione elettrica e anche del gas".
 
 
Se volete pensarci su, dovete fermarvi qui.


Cominciamo con Sam Loyd (1841–1911) che è stato uno scacchista e creatore di enigmi matematici statunitense.

E’ famoso per aver reso popolare, nel 1880, il gioco del 15:

 

 
Offrì anche un premio di 1000 dollari a chiunque fosse riuscito a risolvere il gioco con le tessere 14 e 15 scambiate tra loro:


Sapendo però che la soluzione non esiste.


Per il problema di collegare i servizi è stata proposta la seguente soluzione:
 
© G. Sarcone, giannisarcone.com, immagine tratta da "Puzzillusions", p.82
 
Ma anche in questo caso si tratta di uno scherzo:

 
© G. Sarcone, giannisarcone.com, immagine tratta da "Puzzillusions", p.82


Infatti, per le condizioni poste, la soluzione non esiste, a meno che non si faccia qualche eccezione o non ci si limiti al normale piano euclideo.
 
Il primo caso consiste nel trasgredire la seconda condizione e permettere ad uno dei servizi di passare sotto una casa:
 

Il secondo è più interessante. Consiste nell’ incollare insieme i lati opposti di un quadrato. In questo modo si ottiene una superficie a forma di ciambella che in geometria si chiama Toro o Toroide.

 

 
Sul Toro non valgono molti teoremi della geometria piana. Ad esempio, non vale il teorema dei quattro colori. Per il Toro sono necessari 7 colori diversi affinché due regioni confinanti non abbiano lo stesso colore.
È stata dimostrata una generalizzazione del teorema dei 4 colori da cui consegue che 7 colori sono sufficienti per colorare qualsiasi suddivisione del Toro.
 


Eseguendo 2 tagli (A e B) su un Toro si ottiene un quadrato di lati A e B.

 

 

Su una superficie di questo tipo, se ci si muove verso destra uscendo dal lato A, si rientra dal lato opposto ed equivalentemente se si esce dall’alto (B) si rientra dal basso e viceversa.
 

Anche per la superficie di una Sfera avviene una cosa analoga, ma al contrario di questa, nel caso del Toro il percorso orizzontale NON interseca quello verticale, per cui si può trovare una soluzione al problema “Acqua, Luce e Gas”:
 

 

 

 
 
http://puzzles.nigelcoldwell.co.uk/twentysix.htm
http://www.wdigitals.com/2015/06/the-water-gas-and-electricity.html
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Dudeney/Dudeney.htm
http://dropseaofulaula.blogspot.it/2014/02/i-rompicapi-di-alice-il-problema-dei.html




Formula di Eulero e teoria dei Grafi

 
Per verificare quanto detto, possiamo fare ricorso alla teoria dei grafi e alla formula di Eulero (che è stata vista in uno dei primi post: 2. Formula di Eulero per i Poliedri):

V + F  =  S + 2

In questo caso i Vertici rappresentano case e servizi, mentre gli Spigoli indicano tubi e cavi. Quindi abbiamo:  V = 6  e  S = 9.
Ogni Faccia ha almeno 4 lati (Spigoli), perché non ci sono collegamenti diretti tra case o tra servizi.
Applicando queste condizioni si ha:

F  =  S + 2 – V  =  9 + 2 – 6  =  5

Se ora moltiplichiamo il risultato per 4 Spigoli e dividiamo per 2 (in quanto ogni lato appartiene a 2 Facce), otteniamo che il numero totale di Spigoli dovrebbe essere:

S  =  5 x 4 / 2  =  10

 

mentre ce ne sono soltanto 9.  Si arriva quindi ad una contraddizione.



Riporto anche l'esempio di 3 case e 2 servizi; come si può vedere qui esiste una soluzione e non ci sono contraddizioni:

 



 
 

mercoledì 7 ottobre 2015

197. Tempo: 9.192.631.770

                                                                                  Noodles, cos'hai fatto in tutti questi anni?
                                                                                   Sono andato a letto presto.
                                                                                                       C’era una volta in America
 

Si racconta che in una delle loro passeggiate quotidiane verso il 112 di Mercer Street a Princeton, Albert Einstein abbia rivolto al matematico Kurt Gödel la seguente domanda: dove va il tempo che passa?
 




Einstein lo conosciamo tutti, ma forse Kurt Gödel (1906–1978) matematico, logico e filosofo austriaco, è sicuramente conosciuto negli ambienti scientifici ed esiste molta divulgazione sul suo conto, ma probabilmente non tutti hanno sentito parlare dei suoi fondamentali lavori.

 
Gödel ha pubblicato il suo più famoso risultato nel 1931, all'età di venticinque anni, quando lavorava presso l'Università di Vienna. Tale lavoro conteneva i famosi due Teoremi di incompletezza che da lui prendono il nome, secondo i quali:
 
ogni sistema assiomatico consistente in grado di descrivere l'aritmetica dei numeri interi è dotato di proposizioni che non possono essere dimostrate né confutate sulla base degli assiomi di partenza.
 
Vediamo se riesco a spiegarlo in parole più semplici.
 
All’inizio del secolo scorso l’insigne matematico tedesco David Hilbert era turbato dalla seguente questione: è possibile dimostrare rigorosamente che il sistema definito nei Principia Mathematica da Alfred North Whitehead e Bertrand Russell è coerente (non contraddittorio) e completo (tale cioè che ogni enunciato vero dell’aritmetica potesse essere derivato all’interno della struttura predisposta nei Principia Mathematica)?
Ebbene, l’articolo di Gödel demolì completamente il programma di Hilbert.
Quell’articolo non solo rivelò la presenza di “buchi” nel sistema assiomatico della matematica, ma mise in evidenza l’impossibilità che esistesse un qualunque sistema assiomatico in grado di produrre tutte le verità aritmetiche, a meno che il sistema in questione non fosse incoerente. Inoltre Gödel dimostrò che la coerenza di un sistema è tale proprio perché non può essere dimostrata.
 
Sono molti i lavori che meriterebbero di essere citati come quello sull'ipotesi del continuo, dove dimostrava che essa non può essere confutata dagli assiomi della teoria degli insiemi accettata, assumendo che tali assiomi siano consistenti, o una soluzione esatta delle equazioni di campo di Einstein che prevede l'esistenza di curve chiuse di tipo tempo, che permetterebbero una forma di viaggio nel tempo.
 

Per parlare di tempo (o spazio-tempo) credo sia utile riportare alcune considerazioni di Richard Feynman:

<< Consideriamo in primo luogo ciò che intendiamo per tempo. Che cos’è il tempo? Sarebbe bello se riuscissimo a trovare una buona definizione di tempo. Il dizionario Webster definisce "un intervallo di tempo" come "un periodo", e “un periodo” come "un intervallo di tempo", che non sembra essere molto utile.
Forse dovremmo dire: "Il tempo è ciò che accade quando non succede nient'altro."
Il che, inoltre, non ci porta molto lontano. Forse è un bene se ci troviamo di fronte al fatto che il tempo è una delle cose che probabilmente non si può definire (nel senso del dizionario), e basta dire che si tratta di ciò che già sappiamo è: quanto tempo aspettiamo!
Quello che conta in ogni caso non è il modo in cui definiamo il tempo, ma il modo in cui lo misuriamo. Un modo per misurare il tempo è di utilizzare qualcosa che avviene ripetutamente in modo regolare, qualcosa che sia periodico. Ad esempio, un giorno.
Un giorno sembra accadere più e più volte. Ma quando si inizia a pensare a questo proposito, ci si potrebbe anche chiedere: "I giorni sono periodici e sono regolari? Sono tutti della stessa lunghezza?" Si ha certamente l'impressione che i giorni in estate siano più lunghi di quelli in inverno. Naturalmente, alcuni dei giorni d'inverno sembrano terribilmente lunghi se uno è molto annoiato. Avrete certamente sentito qualcuno dire: "Oh, questa è stata una giornata incredibilmente lunga!"
Sembra tuttavia che i giorni siano circa della stessa durata media.
C'è un modo per verificare se i giorni sono della stessa durata, sia da un giorno all'altro, o almeno in media? Un modo è quello di fare un confronto con un altro fenomeno periodico.
Vediamo come tale confronto può essere fatto con una clessidra.
Con una clessidra, siamo in grado di "creare" un evento periodico se abbiamo qualcuno sveglio giorno e notte per capovolgerla ogni volta che l'ultimo granello di sabbia si esaurisce.

Quindi potremmo contare quante volte sia stata capovolta la clessidra da una mattina all'altra. Avremmo così trovato, che il numero di "ore" (cioè, di volte che dobbiamo capovolgere la clessidra) non era lo stesso ogni "giorno". Dobbiamo diffidare del Sole, della clessidra o di entrambi. Dopo qualche ragionamento, potremmo decidere di contare le "ore" da mezzogiorno a mezzogiorno. (Mezzogiorno è qui definito non come le 12:00, ma come l'istante in cui il Sole è al suo punto più alto). Questa volta, il numero di "ore" ogni giorno sarebbe lo stesso.

Ora siamo confidenti che sia la "ora" che il "giorno" hanno una periodicità regolare, vale a dire, segnano uguali intervalli di tempo successivi, anche se non abbiamo dimostrato che uno dei due è "realmente" periodico. Qualcuno potrebbe chiedersi se ci sia un essere onnipotente che rallenta il flusso di sabbia ogni sera, per poi accelerarlo durante il giorno. Il nostro esperimento, naturalmente, non dà una risposta a questo tipo di domanda. Tutto quello che possiamo dire è che troviamo che un certo tipo di regolarità combacia con una regolarità di un altro genere. Possiamo solo dire che noi basiamo la nostra definizione di tempo sulla ripetizione di un evento apparentemente periodica. >>
                                                          da La Fisica di Feynman, vol. I-1, cap. 5-2, 1994, p. 5-2


Con la frase: “Il tempo è ciò che accade quando non accade nient'altro”, Feynman fa quasi sicuramente riferimento alla Teoria della Relatività.



 

Agostino d’Ippona in merito al Tempo commentava: “Se non ci penso so cos'è, se qualcuno me lo chiede non lo so più”.

Va bene. Non sappiamo bene cosa sia il Tempo, ma, e questo è sorprendente, sappiamo come misurarlo in modo eccezionalmente preciso.
Hans Reichenbach affronta così le tematiche riguardanti l’argomento.
Tempo e Spazio possono essere considerati come schemi di ordinamento, ma il primo è più semplice perché ha una sola dimensione.
Inoltre il Tempo, considerato da solo, non presenta problemi analoghi alla geometria non-euclidea. In una dimensione è impossibile distinguere tra rettilineo e curvo.
Una linea curva può avere una curvatura esterna, ma mai una interna, in quanto può sempre venire “raddrizzata” senza una deformazione dei suoi elementi più piccoli.
Abbiamo due tipi fondamentali di misura del tempo: il primo consiste nel contare processi periodici, mentre il secondo nel misurare distanze spaziali.

Gli strumenti per la misura del tempo sono dotati di due meccanismi:

-       il primo che effettua un moto periodico;
-       l’altro che conta il numero dei periodi eseguiti dal primo.

L’orologio più importante per la misura del tempo è costituito dalla Terra (o se si vuole dal Sole, dalla Luna e dalle stelle). Come tutti gli orologi, richiede qualche correzione. Il disturbo principale deriva dagli effetti gravitazionali di Luna e Sole; questi agiscono come “freni”, con il risultato finale di una situazione come quella della Luna, per la quale il periodo di rotazione è uguale a quello della rivoluzione orbitale (in altre parole, dalla Terra, vediamo sempre la stessa faccia della Luna).

Che cosa costituisca una rotazione completa della Terra, è definibile solo in relazione a qualche punto di riferimento; di qui la differenza fra giorno stellare e giorno solare. Quest’ultimo è 4 minuti più lungo.
Se la Terra fosse sola nell’Universo, sarebbe inutile come orologio.

Oltre alla clessidra, altri orologi sono, ad esempio, il pendolo, l’orologio a bilanciere, quello al quarzo ed infine quello atomico.
Clessidra e pendolo necessitano dell’attrazione gravitazionale (o di qualcosa di simile, come un sistema in rotazione). Inoltre un orologio a pendolo varia il periodo delle sue oscillazioni al variare della latitudine.

Per gli altri orologi riportati sopra la gravitazione non ha alcun effetto e funzionano anche nello spazio interstellare. Le forze elastiche, e quindi gli orologi a bilanciere, presentano leggere fluttuazioni, ossia il sistema non è rigorosamente periodico. Questo li rende meno precisi degli orologi a pendolo.

Gli orologi atomici a maser utilizzano una cavità risonante contenente un gas ionizzato. Solitamente è usato il Cesio perché questo è alla base della definizione del secondo come 9.192.631.770 cicli della radiazione corrispondente alla transizione tra due specifici livelli energetici dello stato fondamentale dell'atomo di questo elemento.
Per contare il numero di periodi si possono usare lancette che al compimento di ogni giro indicano il passare dei minuti, delle ore o delle mezze giornate.

Questo scenario si complica ulteriormente se passiamo alla Teoria della Relatività, non solo per tutti gli effetti dovuti a sistemi di riferimento in moto reciproco, o al rallentamento degli orologi in presenza di campi gravitazionali, ma più semplicemente per il fatto che (come visto in un precedente post 143. Curvatura e Gravitazione) la punta della lancetta dei minuti di un orologio da polso, in 4 dimensioni, non descrive una semplice circonferenza, ma una spirale molto allungata; il passo di questa spirale è 300.000 x 60 x 60 = 1.080.000.000 km.
Per cui quello che sembra una ciclica monotona sequenza della rotazione delle lancette, è invece qualcosa di molto più “complesso” (in tutti i sensi).
Alla domanda su dove vada il tempo che passa, credo comunque che nessuno sia ancora in grado di fornire una risposta.

       Deborah:    Hai aspettato molto?
       Noodles:     Tutta la vita.
            C’era una volta in America


Note ed approfondimenti

C’era una volta in America (1984), regia di Sergio Leone, è il terzo capitolo della cosiddetta trilogia del tempo, preceduto da C'era una volta il West (1968) e Giù la testa (1971). A mio parere è un film che prima o poi si deve vedere, magari più volte, perché ogni volta si scopre qualche cosa di nuovo.
Tratta delle vicissitudini del criminale David "Noodles" Aaronson e dei suoi amici nell'ambiente della malavita organizzata di New York. Le tre fasi della vita del protagonista, adolescenza nel 1920, età adulta negli anni ‘30 e vecchiaia nel 1968, si alternano per una decina di volte. Oltre Noodles (interpretato da Robert De Niro) i personaggi citati sono: "Fat" Moe Gelly che Noodles ritrova dopo 35 anni e alla domanda di Moe: “cos'hai fatto in tutti questi anni”? Noodles risponde: “Sono andato a letto presto”, citando il famosissimo incipit di Alla Ricerca del Tempo Perduto di Marcel Proust: “Per molto tempo sono andato a letto presto”.
L’altra citazione riguarda una conversazione tra Noodles e Deborah (sorella di Moe), che per tutto il film hanno una mai finalizzata reciproca attrazione.
 

Ultimamente sono stati dedicati diversi libri a Kurt Gödel, uno che consiglio è:



 

I Principia Mathematica sono un'opera sui fondamenti logici della matematica scritta a quattro mani da Alfred North Whitehead e Bertrand Russell. Rappresentano un importante tentativo di sistematizzazione delle basi della matematica partendo da un insieme definito di assiomi e di regole logiche.
 

Hans Reichenbach è stato un filosofo della scienza tedesco, che ha dato importanti contributi all’interpretazione filosofica della teoria della relatività, della meccanica quantistica e della termodinamica. Nel post vengono riportate alcune considerazioni prese da:

 

 

Altri due libri consultati, che non necessitano di ulteriori spiegazioni, sono:

Richard Feynman, La fisica di Feynman, Zanichelli

Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante, Adelphi

 

Riporto infine un chiarimento tratto da Wikipedia sulla Curvatura intrinseca ed estrinseca.

Si distinguono due tipi essenziali di curvatura:

  • curvatura estrinseca: è la curvatura posseduta dall'oggetto in relazione ad uno spazio piatto di dimensione superiore in cui è immerso e determinabile solo confrontando elementi dell'oggetto in relazione ad elementi dello spazio contenitore;
  • curvatura intrinseca: è la curvatura determinabile utilizzando solo operazioni eseguite su elementi dell'oggetto medesimo.
Un esempio di curvatura estrinseca è quella di una superficie cilindrica nello spazio tridimensionale: le linee tracciate sul cilindro sono curve se confrontate con le rette dello spazio in cui il cilindro è immerso. La geometria intrinseca del cilindro è invece piatta, in quanto su di essa valgono tutti gli assiomi del piano euclideo.

Una sfera ha invece una curvatura intrinseca, determinabile rimanendo all'interno della superficie stessa: sulla Terra, un percorso che parte dal polo nord scendendo lungo un meridiano, ruota ad angolo retto lungo un parallelo e nuovamente ad angolo retto lungo un altro meridiano, ritorna al punto di partenza. Un percorso analogo eseguito su un piano non ripassa mai per lo stesso punto.



http://zibalsc.blogspot.fr/2011/01/17-lipotesi-del-continuo.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/03/143-curvatura-e-gravitazione.html
http://zibalsc.blogspot.it/2014/11/166-la-formula-piu-bella.html
http://zibalsc.blogspot.it/2015/07/191-la-curvatura-degli-ombrelloni.html